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发信人: courieryboo (小凡·每天灌水多一些...), 信区: DC
标  题: 应用键合图法进行结构的能量分析
发信站: BBS 水木清华站 (Wed May 24 16:48:00 2000)

摘　要：采用键合图法分析结构的能量时程反应。介绍了应用键合图分析振动系统能量
时，其状态方程的建立和各能量指标值的计算方法。通过与有限元方法进行比较，证明
键合图法不仅便于能量分析，降低计算工作量，而且具有较好的精度。
关键词：键合图；时程分析；能量
中图分类号：U441　　　文献标识码：A
The Energy Analysis of Structures with Bond Graph Method
ZHANG Xue-feng1， HU Zhao-tong2， LIU Jian-xin2
（1.Beijing Highway Research Institute of MOC, Beijing 100088, China;
2.College of Highway Engineering, Xi′an Highway University, Xi′an 710064,
China）
Abstract: The Bond Graph Method is used to analyze the time-history response
of energy of structures. The setup of status equation and computation metho
d of energy-index values are introduced by the Bond Graph Method. Comparing
with the Finite Element Method, the Bond Graph Method could not only make th
e energy analysis easier, but also diminish the workload, meanwhile the good
precision can be assured.
Key words: bond graph; time-history analysis; energy
　　键合图方法是进行模拟仿真分析的1种方法，在控制领域的应用较为广泛。键合图法
分析问题的模式较为固定，建模比较方便，也有利于编程分析计算。地震反应分析中，
采用键合图法可以很方便地分析结构的能量时程反应，进而可以研究结构的某些元件对
结构能量的影响。以往在进行结构时程分析时往往都是计算结构的位移时程反应，而且
一般采用有限元法。有限元法比较适合结构分析，而且起步较早，目前世界流行的各种
大型有限元软件都是基于结构分析而设计的；键合图法起步较晚，分析问题的角度与有
限元法相似，都是将整个系统分成不同的元件，就一般的振动分析而言，键合图法的描
述能量更强，键合图法主要以能量的观点思考问题，因此较适合做能量分析。
　　有限元法和键合图法用于结构分析时，都是将物理结构离散后，求结构的数值解。
有限元法主要是从几何角度将结构离散化，键合图法往往是从功能角度分析，将结构离
散成具有不同功能的构件的组合体。2种方法无本质区别。若将有限元法中的单元看成是
具有一定功能元件，应用多通口键合图法的分析方法，有限元法和键合图法将是统一的
。有限元法和键合图法分析问题的过程都比较固定，适合编程计算。从理论上讲将键合
图法用于结构分析时，可以不比有限元法建模做更多的简化。但为了分析问题方便，并
充分发挥键合图法的优点，在结构动力分析时往往将结构简化为质量、弹簧、阻尼的组
合体系。
1　键合图法的基本理论
　　一般在键合图分析中常用到4个广义变量：势变量e(t)、流变量f(t)、广义动量p(t
)、广义位移q(t),t表示时间。
　　上述4个广义变量之间的关系是：
　　势变量e(t)与流变量f(t)的标量积为功率P(t)，又称为功率变量。即
P(t)=e(t)f(t)　　　　(1)
　　广义动量定义为势变量的时间积分，即
p(t)=p0+e(t)dt　　　　(2)
式中：p0为在时间t0的初始动量。
　　广义位移定义为流变量的时间积分，即
q(t)=q0+f(t)dt　　　　(3)
式中：q0为在时间t0时的初始广义位移。
　　因为通过1根键的能量E(t)可写成
E(t)=e(t)f(t)dt　　　　(4)
由式(2)、(3)知
e(t)dt=dp(t)　　　　(5)
f(t)dt=dq(t)　　　(6)
将式(5)、(6)代入式(4)得
E(t)=f(t)dp(t)　　　　(7)
或
E(t)=e(t)dq(t)　　　(8)
　　若将势变量e(t)写成广义位移q(t)的函数e(q)，将流量变量f(t)写成广义动量p(
t)的函数f(p)，则式(7)、(8)可写成
E(t)=f(p)dp　　　　(9)
和
E(t)=e(p)dq　　　　(10)
式(9)、(10)说明广义动量和广义位移是能量变量。因广义动量和广义位移都是能量变量
，故键合图法比较适合于分析系统能量。
2　模型建立
　　在应用键合图法进行结构时程分析时一般可将结构简化为质量、弹簧、阻尼模型。
由于广义动量和广义位移都是能量变量，故可以用广义动量和广义位移的适当运算完成
结构的能量时程计算。
　　在应用键合图法进行分析时，可以将模型中质量的动量和弹簧的变形列入状态向量
，其互补状态向量为质量的运动速度和弹簧的反力所构成的向量。一般可以取系统的各
向量为
　　状态向量
X=［p1，p2，…，pn,q1，q2，…，qm］T　　　　(11)
式中：p1，p2，…，pn为各质量上的动量；q1，q2，…，qm为各弹簧的变形；n为质量数
；m为弹簧数，以下同。
　　互补状态向量
Z=［f1，f2，…，fn,e1，e2，…，em］T　　　　(12)
式中：f1，f2，…，fn为各质量的运动速度；e1，e2，…，em为弹簧的反力。
　　系统输入向量
U=［v1(t),v2(t),v3(t)，…，vr(t)］T　　　　(13)
式中：v1(t),v2(t),…，vr(t)为各点动力输入(用速度形式表示)；r为动力激励点数，
以下同。
　　阻尼的输入向量
Din=［fR1,fR2,…,fRm］T　　　　(14)
式中：fR1,fR2,…,fRm为各阻尼器上的变形速度。
　　阻尼的输出向量
Dout=［eR1,eR2,…,eRm］T　　　　(15)
式中：eR1,eR2,…,eRm为各阻尼器上的反力。
　　在一通口情况下且键合图模型为全积分因果关系时系统的阻性场方程为
Dout=LDin　　　　(16)
式中：L为m×m维对角阵，其对角线上的元素由阻抗型因果关系R元的阻抗系数R0和导纳
型因果关系R元的导纳系数R－10组成。
　　储能场方程
Z=FX　　　　(17)
式中：F为n×n维对角阵，其对角线上的元素由积分因果关系I元和C元的线性惯量参数的
倒数I－10和线性容度参数的倒数C－10组成。
　　通过适当方法生成系统的结型结构矩阵S，结型结构方程为
　　　　(18)
　　联立式(16)、(17)、(18)并化简得
=AX+BU　　　　(19)
式中：A=［S11+S12(I-LS22)-1LS21］F；B=S13+S12(I-LS22)-1LS23；I为单位矩阵。
　　将状态变量X写成
　　　　(20)
式中：X1的维数为n×1;X2的维数为m×1
将储能场矩阵写成
　　　　(21)
式中：F1的维数为n×n;F2的维数为m×m。
　　系统质量上的总动能为
Ea=(F1X1）TF－11（F1X1）　　　　(22)
　　系统弹簧上的总势能
Ev=XT2F2X2　　　(23)
　　系统阻尼器上的耗能功率
　　　　(24)
式(22)、(23)、(24)为以状态向量为基础的系统的各种能量的表达式，只要求出系统的
状态向量的时程反应，即可很方便地求出各能量指标的时程反应。
3　算　例
　　本算例是为了研究铅销橡胶支座的减震性能而取，图1为某5跨连续桥梁简化后的质
量、弹簧、阻尼模型。在简化中，一般将支座、基础简化成弹簧，将连续梁的梁体简化
成质量，桥墩简化成质量和弹簧，基础的扭转弹簧等效为平动弹簧。简化时可以考虑各
构件的阻尼。
图1　某5跨连续梁桥的质量弹簧模型
　　为了简化计算，本算例只进行了弹性分析，不考虑行波效应，取地面运动波形为EL
-CENTRO波、TAFT波、天津波，且加速度峰值修改为0.62 g，重力加速度g=9.8 m/s2；梁
体重为51600 kN。
　　阻尼比取值：钢筋混凝土结构的阻尼比为0.05，基础土弹簧的阻尼比取0.10。与图
1相应的键合图模型为图2。
　　对图2所示的键合图模型进行分析，形成状态方程，通过式(22)、(23)和式(24)即可
求出系统的动能、势能、阻尼耗能的时程反应过程，由此，可以分析支座的减震性能，
输入3种波时结构的总能量(动能+势能)的最大值如表1。
图2　某5跨连续梁桥的键合图模型
表1　最大总能量　　　　(kJ)
输入波 EL-CENTRO波 TAFT波天津波
能量值 1433.1 2938.0 10943.0

　　在3种波情况下的能量时程反应过程如图3。
图3　系统的能量时程曲线和阻尼耗能
4　结　语
　　本文研究应用键合图法进行结构能量时程分析的方法。应用键合图法可以很方便地
分析系统的各种能量。键合图法具有建模方便、直观、易于编程的特点。由于用键合图
法进行结构时程分析时的误差来源主要是建模误差，实际应用时若能保证模型及参数符
合实际，则键合图法分析结果就能保证精度。实际计算表明键合图法具有广泛的应用前
景。
作者简介：张雪峰(1973-)，男，辽宁盘锦人，硕士文章编号：1007-4112(1999)04-003
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作者单位：张雪峰　交通部北京公路研究所，北京　100088
　　　　　胡兆同　刘健新　西安公路交通大学　公路工程学院，陕西　西安　710064

参考文献：
［1］　任锦堂.键图理论及应用［M］.上海：上海交通大学出版社，1992.
［2］　徐植信，胡再龙.结构地震反应分析［M］.北京：高等教育出版社，1993.
［3］　［英］A J 布伦德尔;叶松柏，等译.键合图在工程建模中的应用［M］.上海：上
海科学技术文献出版社，1988.
［责任编辑　孙守增］
收稿日期：1998-01-13

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