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发信人: courieryboo (小凡·每天灌水多一些...), 信区: DC
标  题: 导代数DAn的Krull维数与外乘积
发信站: BBS 水木清华站 (Wed May 24 16:53:32 2000)

摘　要：证明了非零特征域上导代数DAn的Krull维数等于n，并讨论了DAn模的外乘积，
以及外乘积的滤子与分次结构、Gelfand-Kirillov维数和重数。
关键词：导代数；Krull维数；外乘积
中图分类号：O153.3　　　文献标识码：A
Krull Dimension and External Product of Derivative Algebra DAn
ZHANG Jiang-feng1， DONG An-guo2
（1.School of Science , Xi′an Jiaotong University, Xi′an 710049, China;
2.Department of Basic Courses, Xi′an Highway University, Xi′an 710064, Chi
na）
Abstract: The Krull dimension of the derivative algebra DAn over a field of
nonzero characteristic is proved to be n. The external product of DAn-module
s is defined. The filtration and graded structure, the Gelfand-Kirillov dime
nsions and multiplicities of the external products of DAn-modules are also i
nvestigated.
Key words: derivative algebra; Krull dimension; external product
　　当域K的特征为零时，Weyl代数An(K)同构于K［X］（＝K［x1，…，xn］）上的导代
数Δ（K［X］）［1］。但ch(K)=p>0时，An（K）不再与Δ（K［X］）同构，此时后者仅
为前者的商代数［2］。为了强调ch(K)=p时导代数Δ（K［X］）与Weyl代数An的联系，
我们记DAn(K)=Δ（K［X］）。本文首先证明DAn的Krull维数等于n，然后讨论DAn-模的
外乘积(external product)，以及DAn-模外乘积的滤子与分次结构，Gelfand-Kirillov
维数与重数等。
　　下面恒设域K特征为正整数p，并记K［X］＝K［x1,…，xn］，N为非负整数集。
1　预备知识
　　定义1［2］　设x1,…，xn为K［X］上的左乘算子(即xi(f)=xif,f∈K［X］），1，
…，n为K［X］上的偏导算子(即i(f)=, f∈K［X］）。则记DAn(K)(或DAn)为EndK(K［X
］）的由x1,…，xn，1，…，n生成的K-子代数，称为K［X］的导代数。
　　对n重指标α=(α1,…，αn），β=(β1,…，βn)∈Nn，记xα＝xα11…xαnn，β
＝β11…βnn，
　　性质1［2］　｛xαβ｜α，β∈Nn,βi≤p-1,i=1,…,n｝构成DAn的一组K-线性基
底。
　　定理1［2］　记An为域K上的n阶Weyl代数，此即指An为具有2n个生成元x1,…，xn，
y1，…，yn及生成关系xiyj-yjxi=δij, xixj-xjxi=yiyj-yjyi=0, i,j=1,…,n的域K上
的结合代数。则有DAnAn/〈yp1，…，ypn〉。
　　性质2［2］　DAn的中心为Z(DAn)=K［xp1，…，xpn］，且DAn是有限生成的自由Z(
DAn)-模。
　　定义2［2］　令Bm(DAn)=｛∑cαβxαβ∈DAn|α,β∈Nn，βi≤p-1,cαβ∈K,|
α|+|β|≤m｝，则称Β=｛Bm｝m≥0为DAn的Bernstein滤子。记相应的分次代数为grB（
DAn）＝m≥0Bm(DAn)/Bm-1(DAn)，其中B－1（DAn）＝0，B0（DAn）＝K。记deg(∑cαβ
xαβ)=max｛｜α｜＋｜β｜:cαβ≠0｝，其中β满足βi≤p-1, 1≤i≤n。
　　定理2［2］　grB（DAn）K［z1，…，z2n］／〈zpn+1，…，zp2n〉。
2　DAn的Krull维数
外乘积(external product)，以及DAn-模外乘积的滤子与分次结构，Gelfand-Kirillov
维数与重数等。
　　下面恒设域K特征为正整数p，并记K［X］＝K［x1,…，xn］，N为非负整数集。
1　预备知识
　　定义1［2］　设x1,…，xn为K［X］上的左乘算子(即xi(f)=xif,f∈K［X］），1，
…，n为K［X］上的偏导算子(即i(f)=, f∈K［X］）。则记DAn(K)(或DAn)为EndK(K［X
］）的由x1,…，xn，1，…，n生成的K-子代数，称为K［X］的导代数。
　　对n重指标α=(α1,…，αn），β=(β1,…，βn)∈Nn，记xα＝xα11…xαnn，β
＝β11…βnn，
　　性质1［2］　｛xαβ｜α，β∈Nn,βi≤p-1,i=1,…,n｝构成DAn的一组K-线性基
底。
　　定理1［2］　记An为域K上的n阶Weyl代数，此即指An为具有2n个生成元x1,…，xn，
y1，…，yn及生成关系xiyj-yjxi=δij, xixj-xjxi=yiyj-yjyi=0, i,j=1,…,n的域K上
的结合代数。则有DAnAn/〈yp1，…，ypn〉。
　　性质2［2］　DAn的中心为Z(DAn)=K［xp1，…，xpn］，且DAn是有限生成的自由Z(
DAn)-模。
　　定义2［2］　令Bm(DAn)=｛∑cαβxαβ∈DAn|α,β∈Nn，βi≤p-1,cαβ∈K,|
α|+|β|≤m｝，则称Β=｛Bm｝m≥0为DAn的Bernstein滤子。记相应的分次代数为grB（
DAn）＝m≥0Bm(DAn)/Bm-1(DAn)，其中B－1（DAn）＝0，B0（DAn）＝K。记deg(∑cαβ
xαβ)=max｛｜α｜＋｜β｜:cαβ≠0｝，其中β满足βi≤p-1, 1≤i≤n。
　　定理2［2］　grB（DAn）K［z1，…，z2n］／〈zpn+1，…，zp2n〉。
2　DAn的Krull维数
　　下面计算DAn的Krull维数，这里的Krull维数是指Gabreil和Rentschler意义下的Kr
ull维数［3］。对任意环R及任意的R-模M，记(M)为M的Krull维数，当视R为R-模时，记
(R)=(RR)。
　　引理1(［3］，推论6.5.3)　设R，T为环，且RT。如果RT(指左R-模T)为自由模，TR
(指右R-模T)为有限生成的，则(T)=(R)。
　　引理2　(K［xp1，…，xpn］)=n。
　　证明　因为K［X］＝K［x1,…,xn］＝K［xp1，…，xpn］xi11…xinn，所以K［X］
作为K［xp1，…，xp］-模是有限生成的。仿文献［2］性质3可证它在K［xp1，…，xpn
］上也是自由的。
　　此时可利用引理1，得到(K［xp1,…,xpn］）＝(K［x1,…,xn］）＝n。证毕。
　　定理3　(DAn)=n。
　　证明　由性质2，K［xp1,…,xpn］DAn,DAn是有限生成的自由K［xp1,…,xpn］-模。
再由引理1与2可得(DAn)=(K［xp1,…,xpn］)=n。证毕。
3　外乘积的基本性质
　　当m≤n时，m阶Weyl代数Am可以视为n阶Weyl代数An的子环。由定理1知DAmAm/〈yp1
,…,ypm〉，DAnAn/〈yp1,…,ypn〉，DAm可以视为DAn的子环(由1,…，m,1,…，m生成的
K-代数，其中i=xi／〈yp1,…,ypn〉，i=yi／〈yp1,…,ypn〉)。从而Akn为An-Am双模(
bimodule)，DAkn为DAn-DAm双模。
　　设A，B为K-代数，M为左A-模，P为左B-模，则由文献［1］第13章知向量空间AkB上
可定义乘法，成为外乘积代数AB。MkP也可定义成AB-模，记为MP。
　　由文献［1］定理13.1.1可得到ch(K)=p时同样成立如下定理：
　　定理4　设R为K-代数，A、B为R的子代数。若R=AB，［A，B］=0，且分别存在A与B的
K-基底｛ai:i∈N｝和｛bj:j∈N｝，使得｛aibj:i,j∈N｝是R的K-基底。则RAB。
　　下面约定K［X］＝K［x1，…，xn］，K［Z］＝K［z1,…,zm］，K［X，Z］＝K［x1
，…，xn，z1,…,zm］。则An、Am、Am+n分别为｛xi,yi:1≤i≤n｝、｛zj,wj:1≤j≤n
｝和｛xi,zj,yi,wj:1≤i≤n，1≤j≤m｝生成的Weyl代数，DAn、DAm、DAm+n分别为｛x
i,xi:1≤i≤n｝、｛zj,zj:1≤j≤m｝和｛xi,zj,xi,zj:1≤i≤n, 1≤j≤m｝生
成的导代数，An、Am为Am+n的子代数，DAn、DAm为DAm+n的子代数。
　　推论1　有如下同构：K［X］K［Z］K［X，Z］；AmAnAm+n；DAmDAnDAm+n。
　　由基底表示及定理4易证毕。
　　引理3(文献［1］引理13.2.2)　设I，J分别为Am与An的左理想。记〈I，J〉为Am+n
的由I，J的元素生成的左理想，则有Am+n-模同构(Am/I)(An/J)Am+n／〈I，J〉。
　　引理4　设I，J分别为DAm与DAn的左理想。记〈I，J〉为DAm+n的由I，J的元素生成
的左理想，则有DAm+n-模同构(DAm/I)(DAn/J)DAm+n/〈I，J〉。
　　证明　由定理1，DAmAm/〈wp1,…，wpm〉，DAnAn/〈yp1,…，ypn〉。当I中的元素
用性质1中的基底表示时，可形式地将这些元素认为是Am中的元，记这些元素之集为I′
，则I′Am。类似得到J′An，故DAm/IAm〈I′,wp1,…，wpm〉，DAn/JAn/〈J′,yp1,…
，ypn〉
(DAm/I)(DAn/J)(Am/〈I′,wp1,…，wpm〉)(An/〈J′,yp1,…，ypn〉)
Am+n/〈I′,J′,wp1,…，wpm,yp1,…，ypn〉(由引理3)
(Am+n/〈wp1,…，wpm,yp1,…，ypn〉)/(〈I′,J′,wp1,…，wpm,yp1,…，ypn〉/(〈w
p1,…，wpm,yp1,…，ypn〉)
DAm+n／〈I，J〉
证毕。
4　滤子、分次与维数
　　设M为有限生成的左DAm-模，FM=｛Fi(M)｝为M的好滤子，P为有限生成的左DAn-模，
FP={Fi(P)}为P的好滤子。本节仍采用第3节中的记号与约定。
　　下面2个引理的证明都可从定义直接验证，也可仿照Weyl代数情形［1］类似得到结
论，故证明从略。
　　引理5　DAm+n的Bernstein滤子满足
Bt(DAm+n)=Br(DAm)Bs(DAn)。
　　引理6　K-向量空间Fk(MP):=Fi(M)KFj(P)构成DAm+n-模MP的1个滤子，这里是将Fi(
M)KFj(P)等同于MP的子空间。
　　引理7　存在K-向量空间同构grk（MP)i+j=k(gri(M)Kgrj(P))。
　　证明　首先考虑K-线性映射
ηij:Fi(M)KFj(P)→gri(M)Kgrj(P),ηij(uv)=μi(u)μj(v)
其中记M与P的符号映射为μ。则易见ηij为满的，且它的核空间为Fi-1(M)KFj(P)+Fi(M
)KFj-1(P)。将这些ηij放在一起可得到满同态η：A→B，其中A：=i+j=k(FiMKFjP),B:
=i+j=k(gri(M)Kgrj(P))。显然Ker(η)=i+j=kKer(ηij)=i+j=k(Fi-1（M）KFj(P)+Fi(M
)KFj-1(P))，因此
BA/Ker(η)((FiMFjP)／Ker(ηij))Cij
其中Cij=(FiM／Fi-1M)(FjP／Fj-1P），故
grk（MP）=(FiMFjP)/(FrMFsP)Cij
显然有Ciji+j=kCij。从而grk(MP)B。证毕。
　　取直和，可得到K-向量空间同构θ：gr(MP)→gr(M)gr(P)。而MP为DAm+n-模，故gr
(MP)为m+n-模，其中m+n=gr(DAm+n)=K［z1,…,z2m+2n］／〈zpm+n+1,…,zp2m+2n〉。又
因为m+n=mn,故gr(M)gr(P)为m+n-模。
　　定理5　上述线性映射θ为m+n-模同构映射。
　　证明　仿文献［1］定理13.3.4可证毕。
　　推论2　｛Fk(MP)｝是MP的好滤子。
　　证明　由定理5及引理7易知gr(MP)为有限生成的，故｛Fk(MP)｝是好滤子。证毕。

　　定理6　令M为有限生成的左DAm-模，P为有限生成的左DAn-模，则
　　(1) GK-dim(MP)=GK-dim(M)+GK-dim(P)；
　　(2) m(MP)≤(r+sr）m(M)m(P)≤2r+sm(MP)。
　　其中GK-dim(M)为M的Gelfand-Kirillov维数，m(M)为M的重数，r=GK-dim(M)，s=GK
-dim(P)(关于维数与重数的定义可参见文献［1，3］)。
　　证明　由引理7可知
dimKFk(MP)≤（dimKgri(M))（dimKgrj(P))=dimKFkM.dimKFkP
所以dimKF2k(MP)≥dim(FkMKFkP)=dimFk(M).dimFk(P)≥dimFk(MP)。当k0时，M、P、
(MP)的Hilbert多项式满足
χ(2k,MP)≥χ(k,M)χ(k,P)≥χ(k,MP)
则GK-dim(MP)=deg(χ(k,MP))=r+s，且
即m(MP)≤(r+sr)m(M)m(P)≤2r+sm(MP)。证毕。
作者简介：张江峰(1975-)，男，安徽阜阳人，西安交通大学博士生文章编号：1007-41
12(1999)04-0126-03
作者单位：张江峰　西安交通大学　理学院，陕西　西安　710049
　　　　　董安国　西安公路交通大学　基础课部，陕西　西安　710064
参考文献：
［1］　COUTINHO S C. A Primer of Algebraic D-modules［M］. London: Cambridge
University Press, 1995.
［2］　张江峰，徐成贤.非零特征域上的导代数［J］.西安电子科技大学学报，1999，
26：471—474.
［3］　MCCONNELL J C, ROBSON J C. Noncommutative Noetherian Rings［M］. New
York: John Wiley and Sons, 1987.
［责任编辑　孙守增］
收稿日期：1999-01-04

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梧桐身旁的浮云里飘出一弯朦胧的月亮    *        *
清清淡淡的月光静静地飘落在我身旁         ●
   ahuang
在寂寞的晚上我就是一只音乐虫子      ^^   *
飞呀飞呀找不到爱发源的地方... ...
                                          ●

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