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发信人: courieryboo (小凡·每天灌水多一些...), 信区: DC
标  题: 中立型非线性抛物方程非振动解的渐近性质
发信站: BBS 水木清华站 (Wed May 24 16:57:38 2000)

摘　要：研究了一类中立型非线性抛物方程非振动解的渐近性质，利用在一定条件下将
方程的强迫项目并入首项(项)的方法，得到了在混合边值条件下方程的所有非振动解渐
近收敛于零的充分条件。
关键词：抛物型方程；非振动解；渐近性
中图分类号：O175.26　　　文献标识码：A
Asymptotic Property of the Nonoscillatary Solutions of Nonlinear
Parabolic Differential Equations of Neutral Type
HE Wen
（Department of Basic Courses, Xi′an Highway University, Xi′an 710064, Chi
na）
Abstract: Asymptotic property of the nonoscillatary solutions of a class of
nonlinear parabolic differential equations of neutral type is discussed. Und
er the given conditions, the forced term of the parabolic equation is incorp
orated into its first term (term ). Sufficient conditions are obtained for a
symptotic convergence to Zero of all nonoscillatary solutions of the equatio
ns in various boundary conditions.
Key words: parabolic differential equation; nonoscillatary solution; asympto
tic property
　　关于对抛物方程振动性的研究，已有一些结论，例如文献［1～4］。然而对于抛物
方程的非振动解目前尚无任何结果。本文利用在一定条件下将方程的强迫项并入首项(项
)的方法，研究了中立型非线性抛物型偏微分方程
　　　　(1)
的非振动解的渐近性态，其中ΩRN为逐片光滑边界Ω的有界区域，Δ是RN的Laplace算子
。本文作如下假设：R＋＝［0，＋∞)，且
(H1）λi(t)∈C1(R＋，R＋）　i=1,2,…,s, aj(t)∈C(R＋，R＋），j=1,2,…,l;
(H2）τi=const>0,ρj(t),σk(t)∈C(R＋，R＋），且(t-ρj(t))=+∞，
(t-σk(t))=+∞，i=1,2,…,s; j=1,2,…,l； k=1,2,…,m；
(H3）Pk(x,t),f(x,t)∈C(×R＋，R）且Pk(x,t)≥0,k=1,2,…,m;
(H4）G(u)∈C(R,R); uG(u)>0,当u≠0时，且｜G(u)｜≥|u|；
考察混合边值条件
　　　　(2)
式中：n为Ω单位外法向量；α(x),β(x)∈C(Ω,R＋)且α2(x)+β2(x)≠0；ψ(x,t)∈
C(Ω×R＋，R）。
　　定义1［1］　函数u(x,t)∈C2(Ω,R＋)∩C1(×R＋）称为问题(1)、(2)的解，如果
它在Ω×R＋上满足方程(1)且在Ω×R＋满足边值条件(2)。
　　定义2［3］　问题(1)、(2)的解u(x,t)称为在Ω×R＋内振动，如果T>0，在Ω×［
T，+∞)内存在点(x0，t0）∈Ω×［T，+∞)，使得u(x0,t0）＝0成立；否则称u(x,t)为
非振动解。
　　定义3　问题(1)、(2)的解u(x,t)称为渐近收敛于零，如果x∈Ω，使u(x,t)=0成立
。
　　后面我们要用到如下的引理：
　　引理［4］　设λ是特征问题
的最小特征值，φ(x)是对应于λ的特征函数，则
　　(1)当β(x)≡0(x∈Ω)时，有λ=0且φ(x)=1　(x∈Ω)
　　(2)当β(x)0(x∈Ω)时，有λ>0且φ(x)>0　(x∈Ω)
　　下面给出主要结论及其证明
　　取Pk(t)=Pk(x,t), k=1,2,…,m
　　定理　设(H1）－（H4）成立，且
　　(A1）：存在函数θ(t)∈C1（R＋，R），使得(t)=0,并存在T>0，对t>T有
　　　　(3)
　　(A2）：存在常数η>0，使得对至少1个k0∈｛1,2,…,m｝使
Pk0(t)≥η　　　　(4)
　　　　(5)
成立。则问题(1)、(2)的任一非振动解u(x,t)，必有
u(x,t)=0　　x∈Ω　　　　(6)
　　证明　设u(x,t)是问题(1)、(2)在Ω×R＋内的任一非振动解，则存在t0>0，当t>t
0时，有u(x,t)>0或u(x,t)<0(x∈Ω)。由条件(H2）知，存在t1≥t0，当t>t1时，有u(x
,t-τi)>0(<0),u(x,t-ρj(t))>0(<0),u(x,t-σk(t))>0(<0),其中i=1,2,…,s;j=1,2,…
,l，从而由(H4)知G(u(x,t-σk(t)))>0(<0)，k=1,2,…,m。
　　下面的讨论在t∈(t1，＋∞)中进行讨论：
　　取δ=sign｛u(x,t)}，则δu(x,t)>0，δu(x,t-τi)>0，δu(x,t-ρj(t))>0,δG(
u(x,t-σk(t))>0,i=1,2,…,s;j=1,2,…,l; k=1,2,…,m。
　　给方程(1)两边同乘以特征函数φ(x)，并在Ω上关于x积分得
　　　　(7)
由Green公式有
再由引理有
将上式代入式(7)中有
　　　　(8)
令∫Ωδu(x,t)φdx=V(t),t∈(t2，＋∞),显然V(t)>0,V(t-τi)>0,V(t-ρj(t)))>0,V
(t-σk(t))>0,于是式(8)变为
即
　　　　(9)
再令
　　　　(10)
则式(9)变为
　　　　(11)
从而知z(t)在［t2，＋∞)上是一单减函数。设z(t)=l(包括-∞)，我们将证明l为一有限
数。若不然，假设l=-∞，由θ(t)=0及式(10)第1式知y(t)=l=-∞，即y(t)在［t2，＋∞
）上无界，从而由式(10)第2式、(H1）及(A3）知V(t)在(t2，＋∞)上无界，故存在t3≥
t2+max｛τ1，…，τs｝，满足
y(t3）<0　且　　　(12)
而由(A3）知
矛盾。说明l为一有限数。
　　对式(11)在区间［t3，t］(t3<t)上积分，并利用条件(A2）得
　　　(13)
　　由于z(t)=l为一有限数，所以V(t-δk0(t))∈L1［0，＋∞），从而V(t)=0，即∫Ω
δu(x,t)φ(x)dx=0，而φ(x)>0，所以δu(x,t)=0，即(x,t)=0，证毕。
　　推论　设(H1）－（H4），（A1）、（A2）成立，且有
　　　　(14)
成立，则问题(1)、(2)的任一非振动解u(x,t)必有
u(x,t)=0　　x∈Ω
作者简介：何　文(1959-)，男，四川成都人，西安公路交通大学讲师文章编号：1007-
4112(1999)04-0129-03
作者单位：西安公路交通大学　基础课部，陕西　西安　710064
参考文献：
［1］　YOSHIDA N. Forced Oscillations of Parabolic Equat-ions［J］.Bull. Aus
tral. Math. Soc., 1987,36:289—294.
［2］　YOSHIDA N. Oscillations of Nonlinear Parabolic Eq-uations with Functi
onal Arguments［J］. Hiroshima Math. J., 1986,16:305—314.
［3］　MISHEV D P, BAINOV D D. Oscillation of the Par-abolic Differential Eq
uation of Neutral Type［J］. Math. Comput, 1988,28:97—111.
［4］　叶其孝，李正元.反应扩散方程引论［M］.北京：科学出版社，1994.
［责任编辑　孙守增］
收稿日期：1998-12-15

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