精华公布栏

发信人: courieryboo (小凡·每天灌水多一些...), 信区: DC
标  题: 最后一篇 : 一阶非线性中立型方程组非振动解的存在性
发信站: BBS 水木清华站 (Wed May 24 17:09:27 2000)

摘　要：利用Krasnoselskii不动点定理，得到了一类非线性中立型方程组存在趋于均为
正(负)分量的非振动解的充分必要条件。
关键词：非线性中立型方程组；非振动解；不动点定理
中图分类号：O175.14　　　文献标识码：A
Existence of Nonoscillatary Solution for First Order
Nonlinear Neutral Differential Systems
WANG Kan-min
（School of Science, Xi′an Jiaotong University, Xi′an 710049, China）
Abstract: Using Krasnoselskii fixed point theorem, the necessary and suffici
ent conditions for existence of nonoscillatary solutions are obtained, which
tend to constant vector with positive components(or negative components) fo
r a class of first order nonlinear neutral differential systems.
Key words: nonlinear neutral system; nonoscillatary solution; fixed point th
eorem
　　关于纯量泛函微分方程的振动性，已有很多很好的结果。然而关于方程组的振动性
的研究，目前所见文献极少。GOPALSAMY K［1］讨论了一阶线性混合型方程组的非振动
性，ARINO O等人［2］讨论了常系数线性中立型方程组的振动性。对于变系数中立型方
程组的振动性目前尚无任何结果。本文利用Krasnoselskii不动点定理讨论了一阶非线性
中立型方程组
　　　　(1)
存在趋于均为正(负)分量的非振动解的充分必要条件。若无说明均假定i,j=1,2,…,m,并
假设：
　　(H1）　τ,cij均为常数，且τ>0;
　　(H2）　ρij(t)∈C(R＋，R＋）且(t-ρij(t))=∞;
　　(H3）　fi∈C1（Rm,R)，fi(-y1，…，－ym)=
　　　　　-fi(y1，…，ym),yi∈R,且
　　定义1　定义在［0，∞)上的实值连续函数x(t)称为振动的，如果x(t)不最终为零且
存在序列｛tn｝→∞(n→∞)，使x(tn)=0对每个tn∈［0，＋∞）成立；否则称x(t)是非
振动的。
　　定义2　定义在［0，∞)上的向量值函数x(t)=(x1(t),…,xm(t))T称为振动的，如果
存在x(t)的某一分量xj(t)在定义1的意义下振动；否则称x(t)是非振动的。
　　引理1(Krasnoselskii)［3］　设K是一Banach空间X的有界凸闭集，而A、B是映K入
X的2个映象，满足
　　(1)Ax+By∈K　　(x,y∈K)
　　(2)A是压缩映象
　　(3)B是K上的全连续算子
　　则方程Ax+Bx=x在K中有1个解。
　　引理2　若
　　　　(2)
且又0≤xi(t)≤M，M、τ均为常数，则yi(t)存在且有限xi(t)存在且有限。
　　证明　设supxi(t)=l＋i，infxi(t)=l-i，yi(t)=ki。
对式(2)分别取上极限和下极限，得
其中，j=j′时cij≥0，j=j″时cij<0。故
因｜cij｜<1，故l＋i=l－i,即xi(t)存在且有限。
　　定理　如果(H1）－（H3）条件成立，且
｜cij｜<1，｜cij｜<1
则方程组(1)存在趋于为正(负)分量常向量的非振动解的充分必要条件是
∫∞pi(t) dt<+∞
　　证明　必要性　设x(t)=(x1（t),…,xm(t))T是式(1)的一非振动解，且xi(t)=ci>0
(或<0)。取δ=sign{ci}，则δxi(t)=δci>0。
　　由(H2），存在t1≥0及常数a,b>0，当t≥t1时有
a<δxi(t-ρij(t))<b　　　　(3)
对式(1)两边同乘δ，从t1到t积分得
　　　　(4)
由(H3）知，当t≥t1时，有
fi(δx1（t-ρi1(t)),…，δxm(t-ρim(t1））≥fi(a,…,a)>0
于是式(4)变为
上式令t→∞得　　fi(a,…,a)pi(t)dt<+∞
即
pi(t)dt<+∞　　　　(5)
充分性　由∫∞pi(t)dt<+∞知，常数k≠0，及t1≥0，有
(δ=sign{k})　　　　(6)
由条件(H1）、（H2）知，t2≥t1，当t≥t2时，有t-τ>0，及t-ρij(t)>0。
　　记T=inf｛t-τ,t-ρij(t);t≥t2｝。
作Banach空间
X=｛x(t)=(x1(t),…，xm(t))T｜xi(t)∈C(［T，∞),R),sup｜xi｜<∞｝
其中X的范数而｜x(t)｜=|xi(t)|，设
则K是X中的有界凸闭集。
　　作映象　Ax(t)=(A1x(t),…,Amx(t))，
其中
　　　　(7)
及By(t)=(B1y(t),…,Bmy(t))
其中
　　　　(8)
　　(i)　x,y∈K,Ax+By∈K
　　事实上，当T≤t≤t2时
　　　　(9)
其中j=j′时cij≥0，而j=j″时cij<0
　　　　(10)
当t>t2时
　　　　(11)
由(H3）及式(6)得
　　　　(12)
由式(9)～(12)知，x,y∈K,Ax+By∈K
　　(ii)A是压缩映象
　　x,y∈K，则
　　　　(13)
其中，
　　(iii)B是全连续算子
　　显然BK是一致有界的。由(H3）及∫∞pi(t)dt<+∞知，M>0
使
即
‖By(t2）－By(t1）‖≤M｜t2－t1｜，t1，t2∈［T,∞)　　　　(14)
从而知By(t)在［T，∞)上等度连续。因此BK在X中是列紧集，即B是紧算子。
　　设yn=(yn1，…，ynm）∈K, y0∈(y01，…，y0m)∈X使
‖yn-y0‖＝0　　　　(15)
由于K闭，所以y0∈K
由于
ρi1(s)),…,δynm（s-ρim(s)))-fi（δy01（s-ρi1(s)),…,δy0m（s-ρim(s)))｜
ds
令　g(n)i(s)=|fi（δyn1（s-ρi1(s)),…,δynm（s-
ρim(s)))-fi（δy01（s-ρi1(s)),…,δy0m（s-ρim(s)))|
则
由于f连续，所以g(n)i(s)=0，又g(n)i(s)≤2fi(δk,…,δk)
由Lebesgue控制收敛定理得
‖Byn-By0‖=0　　　　(16)
即B是连续算子，从而B是全连续算子。
　　由引理1知，存在∈K，使当t≥t2时，有
　　　　(17)
显然(t)=(1(t),…,m(t))是式(1)的解，而且由知(t)非振动。再令(t)=i(t)+于是式(17
)变为
　　　　(18)
由式(18)得(δi(t))′≥0,(t≥t2），知δzi(t)单调增加，而
故δ(t)存在且有限，由引理2可知δ(t)存在且为正常数。从而方程组(1)存在趋于具均
为正(负)分量的常向量的非振动解，证毕。
基金项目：国家自然科学基金资助项目(7977068)
作者简介：王侃民(1963-)，男，安徽歙县人，西安公路交通大学副教授，理学博士生文
章编号：1007-4112(1999)04-0123-03
作者单位：西安交通大学　理学院，陕西　西安　710049
参考文献：
［1］　COPALSAMY K. Nonoscillation in Systems of Lin-
ear Differential Equations with Delayed and Advanced Arguments［J］. J. Math
. Anal. Appl., 1989,140(2):374—380.
［2］　ARINO O, GYORI I. Necessary and Sufficient Cond-
ition for Oscillation of a Neutral Differential System with Several Delays［
J］. J. Diff. Eqns., 1989,81(1):98—105.
［3］　NASHED M, WONG J S W. Some Variations of a Fixed Point Theorem of Kra
snoselskii and Applicati-
ons to Nonlinear Integral Equations［J］. J. Math. Mech., 1969,18:666—667.
［责任编辑　孙守增］
收稿日期：1998-12-13

--
梧桐身旁的浮云里飘出一弯朦胧的月亮    *        *
清清淡淡的月光静静地飘落在我身旁         ●
   ahuang
在寂寞的晚上我就是一只音乐虫子      ^^   *
飞呀飞呀找不到爱发源的地方... ...
                                          ●

※ 来源:·BBS 水木清华站 smth.org·[FROM: 166.111.5.39]