MSE12 版 (精华区)

发信人: Orthogonal (蒸饺), 信区: MSE12       
标  题: 仿佛来自虚空（5）
发信站: BBS 听涛站 (Wed Dec 15 21:31:37 2004)

新星升起

这个最本质的东西就是每次塞尔会强烈感觉到某个陈述下隐含着的丰富意义，而这个陈述
在字面意义上讲，无疑让我既不感到兴奋，也不觉得无味——而且他可以“传输”这种对
如此内蕴丰富、实在而又神秘的实质的感知——这种感知在同一时候就是理解这个实质的
渴望，以至看透它的本质。
                                              《收割与缝补》，第556页

格勒诺贝尔大学的Bernard Malgrange 回忆起当格洛腾迪克写完论文后，他宣称自己不再
对拓扑线性空间感兴趣了。“他告诉我，‘这里面不再有东西可做了，这个学科已经死了
，’”Malgrange回忆道。当时学生按要求需要准备一份“第二论文”，此文不必包含原创
性的工作，其用意在于让学生展示对和自己博士论文研究相隔很远的一门数学领域的理解
深度。格洛腾迪克的第二论文是关于层论的，这个工作或许埋下了他对代数几何的兴趣的
种子，而这将是他做出最伟大成就的地方。在巴黎完成格洛腾迪克的论文答辩后，Malgra
nge记得他自己、格洛腾迪克和亨利－嘉当挤在一辆出租车上去Laurent施瓦兹家里吃午饭
。他们坐出租是因为Malgrange在滑雪的时候摔断了腿。“在车上，嘉当告诉格洛腾迪克他
叙述层论时犯的一些错误，”Malgrange 回忆说。

离开巴西后，格洛腾迪克1955年在堪萨斯大学度过，可能是受到N. Aronzajn的邀请[Corr
]。在那里格洛腾迪克开始投入到同调代数研究中去。正是在堪萨斯他写了“关于同调代数
的若干问题”这篇文章，此文在专家圈子里面被非正式地称为“Tohoku文章”，由于此文
发表在The Tohoku Mathematical Journal(《东北数学期刊》)上。此文是同调代数的经典
，发展了嘉当和Eilenberg关于模的工作。也是在堪萨斯的时候，格洛腾迪克写了“带结构
层的纤维空间的一般理论’一文，此文作为国家科学基金 (National Science Foundatio
n, NSF)的一个报告发表。这个报告发展了他关于非交换上同调的初步想法，此领域在后来
他会在代数几何的架构下再次触及。

就是在这时候，格洛腾迪克开始和法兰西学院的让－皮埃尔 塞尔通信。他起初和塞尔在巴
黎相识，而后来在南锡时又见过面。他们信件的精选在2001年出版了法文原版，在2003年
出版了法英对照版[Corr]。这是一段长期而又硕果累累的交流的开始。这些信件显示了两
个非常不同的数学家的深厚而又充满活力的数学联系。格洛腾迪克表现出天马行空般的想
象力，而它又常常被塞尔的深刻理解和渊博知识带回到地面。有时候在信中格洛腾迪克会
表现出很令人惊讶的无知：比如说，有一次他询问塞尔黎曼zeta函数是否有无穷多零点（
[Corr],第204页）。“他的经典代数几何知识实质上等于零，”塞尔回忆说，“我自己的
经典代数几何知识比他稍微好点，但好得不多，但是我试着去帮助他。可是…有这么多未
解决的问题，所以这不是很重要。”格洛腾迪克不是那种了解最新文献的人，很大程度上
他依靠塞尔来了解目前数学界正在干些什么。在《收获与缝补》里，格洛腾迪克写道，他
学习到的大部分几何知识，除去他自学的外，全学自于塞尔（第555－556页）。不过塞尔
不仅仅是教给格洛腾迪克知识；他能够将要点融会贯通，然后用一种格洛腾迪克发现非常
具有说服力的方法叙述出来。格洛腾迪克将塞尔叫着“引爆器”，一个提供火花，将导火
索点燃，促使观点大爆炸的人。

确实，格洛腾迪克将他工作的许多中心主题都归因于塞尔。比如说，就是塞尔在1955年将
韦依猜想用上同调的语言介绍给格洛腾迪克——这种语言在韦依最初提出猜想的时候是没
有明显给出的，而它却正是可以吸引格洛腾迪克的地方（《收获与缝补》，840页）。通过
对韦依猜想做“凯莱”类比的想法，塞尔也促使了格洛腾迪克的所谓 “标准猜想”的提出
，此猜想更加一般化，而韦依猜想只是其中一个推论（《收获与缝补》，第210页）。

在堪萨斯呆了一年后，格洛腾迪克在 1956年回到法国的时候，在CNRS谋得了一个位置，大
部分时间里他呆在巴黎。他和塞尔继续通信，并且经常通电话讨论问题。就在此时格洛腾
迪克开始更深入地研究拓扑和代数几何。他脑子里“充溢着想法，”阿曼德－波莱尔回忆
说，“我很确定某些一流的工作必将出自于他。不过最后（从他那里）出来的比我想象的
甚至还要高出很多。这就是他的Riemann－Roch定理，一个相当美妙的定理。它真是数学上
的一个杰作。”

经典形式的Riemann －Roch定理在19世纪中叶得到证明。它讨论的问题是：在一个紧致黎
曼曲面上，由那些极点在给定的有限多个点上，且具有最多给定次数的阶的亚纯函数构成
的空间的维数是多少？问题的答案就是Riemann－Roch公式，它将维数用曲面的不变量来表
达——从而提供了曲面的解析性质和拓扑性质的丰富联系。弗里德里希－赫兹布鲁克(Fri
edrich Hirzebruch)在1953年做出了一个巨大的进展，其时他将Riemann－Roch定理推广到
不仅适用于紧致曲面，而且适用于复数域上的射影非奇异簇的情况。整个数学界都在欢呼
这项伟业，它可能是这个问题的盖棺之语了。

“此时格洛腾迪克走了出来，说道：‘不，黎曼－洛赫定理不是一个关于簇的定理，而是
一个关于簇间态射的定理’，”普林斯顿大学的尼克莱斯－卡兹说，“这是一个根本性的
新观点…整个定理的陈述完全改变了。”范畴论的基本哲学，也就是大家应该更加注意的
是对象间的箭头（态射），而不是对象自身，才刚刚开始在数学上取得一点影响。“格洛
腾迪克所做的事情就是将这种哲学应用到数学上很困难的一个论题上去，”波莱尔说，“
这真的很符合范畴和函子的精神，不过人们从没有想过在如此困难的论题上使用它… 如果
人们已经知道这个陈述，并且明白它在说什么，可能别的某个人可以证明这个陈述。不过
单单这个陈述本身就已经领先别的任何人10年时间。”

这个定理，其后也被Gerard Washnitzer[Washnitzer]在1959年证明，不仅适用于复代数簇
——基域特征零的情况——而且也适用于任何本征光滑代数簇而不必在乎基域是什么。赫
兹布鲁克－黎曼－洛赫定理即作为特殊情况推出。1963年黎曼－洛赫定理一个影响深远的
推广出现了，它就是Michael Atiyah和Isadore Singer证明的Atiyah－Singer指标定理。
在证明的过程中，格洛腾迪克引入了现在叫作格洛腾迪克群的概念，这些群本质上提供了
一类新型拓扑不变量。格洛腾迪克自己将它们叫做K－群，他们提供了由Atiyah和 Hirzeb
ruch所发展的拓扑K理论的起点。拓扑K理论接着又提供了代数K理论的源动力，这两个领域
从此均是研究很活跃的领域。

Arbeitstagung，字面意思即是“工作会议”，是由赫兹布鲁克在波恩大学所发起的，其作
为数学前沿研究的论坛已经有四十多年历史了。正是在1957年7月首次 Arbeitstagung上格
洛腾迪克讲述了他在黎曼－洛赫问题上的工作。不过令人好奇的是，这个结果从没有在他
名字下发表；它出现在波莱尔和塞尔的一篇文章[BS]上（这个证明作为一个报告，后来也
出现在SGA6中）。正当他在1957年秋访问IAS（高等研究院）的时候，塞尔收到格洛腾迪克
的一封信，里面包含了格洛腾迪克证明的概要（[Corr]中日期为1957年11月1日的信）。他
和波莱尔组织了一个讨论班来试着理解这个定理。因为格洛腾迪克正在忙很多别的事情，
他建议他的同事们将讨论班记录下来发表。不过波莱尔推测可能有别的原因让格洛腾迪克
对将证明写下来不感兴趣。“格洛腾迪克主要的哲学思想是数学应该被简化为一系列很小
而又很自然的步骤，”波莱尔说，“只要你还不能这么做，就说明你还没有理解里面真正
的含义…他的黎曼－洛赫证明使用了一个小窍门，une atuce。因此他不喜欢这个证明，所
以也就不想发表它。正好他有别的很多事情要做，他对将这个窍门写下来没有兴趣。”

这并不是格洛腾迪克最后一次革命化一个学科研究问题的观点。“这样的事情是一次又一
次不停地发生，他会去考虑有些别人已经花了很久时间、在某些情况下甚至是 100年的时
间研究过的问题… 最后他完全转变了人们当初认定的这个学科告诉我们的东西。”卡兹评
论道。格洛腾迪克不仅会去解决很困难的问题，他还会去继续研究引起这些问题的问题。


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