MSE12 版 (精华区)

发信人: Orthogonal (蒸饺), 信区: MSE12       
标  题: 仿佛来自虚空（6）
发信站: BBS 听涛站 (Wed Dec 15 21:32:07 2004)

新世界大门开启

（我最后终于）意识到这种“我们，伟大而高贵的精神”思维方式，在一种特别极端和恶
意的形式下，从我母亲的孩提时代开始，就让她情绪易于激动，并支配着她和别人的关系
，让她总是居高临下，带着常常是倨傲甚至于轻蔑的怜悯来看待别人。
                                             《收获与缝补》，第30页

根据Honig的说法，格洛腾迪克的母亲在他呆在巴西的时候，至少有部分时间也在那里，尽
管Honig说自己从没有见过她。我们不清楚她是否跟随儿子去了堪萨斯。当1956年格洛腾迪
克回到法国的时候，他们可能就没有住在一起了。在1957年11月于巴黎写给塞尔的信中，
格洛腾迪克询问塞尔他是否可以租下塞尔正要搬出的一间巴黎公寓。“我想给我母亲租住
这个公寓，她在Bois-Colombes过得不怎么好，而且觉得特别孤独，”格洛腾迪克这样解释
 [Corr]。事实上，他母亲在这年底就去世了。

格洛腾迪克的朋友们和同事们都说当他谈及父母双亲的时候总是充满景仰，几乎到了吹捧
的地步。在《收获与缝补》一书中，格洛腾迪克也表达了对他们的深厚的孺慕之情。多年
里他在办公室里挂了张很醒目的他父亲的肖像，此画是Le Vernet集中营里的难友描绘的。
据Pierre Cartier的描述，这幅肖像画描绘了一个剃着光头、双目“炯炯有神”的男人[C
artier1]；很多年里格洛腾迪克自己也剃光头。根据Ribenboin的话，汉卡－格洛腾迪克对
她的杰出儿子感到非常骄傲，反过来他也有一种对母亲特别深厚的依赖。

她过世后，格洛腾迪克经历了一段时间来寻找自我，期间他停止了所有的数学活动，还想
过去成为一位作家。数月后，他决定重返数学，去完成和一些他已经开始发展的想法相关
联的工作。这一年是1958年，根据格洛腾迪克的话，这一年“可能是我数学生涯最多产的
一年。”（《收获与缝补》，第24页）这个时候他开始和一位叫Mireille的妇女同居，他
将在数年后与她结婚，并育有三个孩子：乔安娜, 马修和亚历山大。Mireille和格洛腾迪
克的母亲曾经过往甚密，并且据熟悉他俩的人说，她比他大了不少。

得克萨斯大学奥斯汀分校的约翰－特德（John Tate）和他当时的妻子凯伦－特德 (Karen
 Tate)1957－1958学年在巴黎度过，在那儿他们首次见到格洛腾迪克。格洛腾迪克根本就
没有表现过那种他归因于母亲的倨傲。“他很友好，同时相当天真和孩子气，”John Tat
e回忆道，“很多数学家都相当孩子气，有时不通世务，不过格洛腾迪克犹有甚之。他看上
去就那么无辜——不工于心计，不伪装自己，也不惺惺作态。他想问题的时候相当清晰，
解释问题的时候非常有耐心，没有自觉比别人高明的意思。他没有被任何文明、权力或者
高人一等的作风所污染。”Karin Tate回忆说格洛腾迪克乐于享受快乐，他很有魅力，并
喜欢开怀大笑。但他也可以变得很极端，用非黑即白的眼光来看待问题，容不得半点灰色
地带。另外他很诚实:“你和他在一起的时候总知道他要说的是什么，”她说，“他不假装
任何事情。他总是很直接。”她和她的弟弟，麻省理工学院的迈克尔－阿廷（Michael Ar
tin）都觉察到格洛腾迪克的个性和他们的父亲埃米尔－阿廷（Emil Artin）很相似。

格洛腾迪克有着“令人难以置信的理想主义想法”，Karin Tate回忆说。比如说，他不允
许在他屋子里有地毯，因为他坚信地毯只是装饰用的奢侈品罢了。她还记得他穿着轮胎做
的凉鞋。“他认为这妙极了，”她说，“这些都是他所尊敬的事务的象征——人需要量体
裁衣，量力而行。”在他的理想主义原则下，有时候他可能变得特别不合世宜。在格洛腾
迪克和Mireille1958年首次访问哈佛之前，他给了Mireille一本他喜欢的小说让她来提高
她相当贫乏的英语水平。这本小说就是Moby Dick。


新几何的诞生

按照三十年后的后见之明，现在我可以说就是在1958年，伴随着两件主要工具，概型（sc
heme，它代表旧概念“代数簇”的一个变形）和拓扑斯（toposes，它代表空间概念的变体
，尽管更加复杂）的苏醒，新几何的观点真正诞生了。
                                           《收获与缝补》，第23页


1958 年8月，格洛腾迪克在爱丁堡举行的国际数学家大会上作了一个大会报告[Edin]。这
个报告用一种非凡的先见之明，简要描述了许多他将在未来12年里工作的主题。很清楚这
个时候他的目标就是要证明Andre Weil的著名猜想，其揭示了代数簇构成的离散世界和拓
扑形成的连续世界的丰富联系。

在这个时候，代数几何的发展非常迅猛，很多未知问题并不需要很多背景知识。起初的时
候这个学科主要是研究复数域上的簇。在20世纪初叶，这个领域是意大利数学家，诸如Gu
ido Casternuovo，Federigo Enriques和Francesco Severi等的专长。尽管他们发展了很
多的独创思想，但他们的结果不都是通过严格证明得来的。在1930和1940年代，其他一些
数学家，包括范德瓦尔登、安德烈－韦依和奥斯卡－察里斯基，打算研究任意数域上的簇
，特别是特征p域上的簇，其在数论上很重要。但是，由于意大利代数几何学派严谨性的匮
乏，有必要在此领域建筑新的基础。这就是韦依在他 1946年出版的《代数几何基础》中所
做的事情(Foundations of Algebraic Geometry, [Weil1])。

韦依的猜想出现在他1949年的文章[Weil2]中。由数论中某些问题的启发，韦依研究了一类
其一些特殊情况是由Emil Artin引进的zeta函数；它被叫做zeta函数则是因为它是通过和
黎曼zeta函数作类比定义得来的。给定定义于特征p的有限域上的一个代数簇V，则可以计
算V上在此域上有理点的个数，以及在其每个有限扩域上有理点的个数。将这些数放入一个
生产函数中，就得到V的zeta函数。韦依证明了在曲线和Abel簇两种情况下， zeta函数满
足三条性质：它是一个有理函数；它满足函数方程；它的零点和极点有某种特定的形式。
这种（特定的）形式，经过换元后，恰好和黎曼假设相对应。韦依更进一步观察到，如果
V是由某个特征零簇W模p得到的，那么当V的zeta函数表示为有理函数时，W的Betti数就可
以从V的zeta函数上读出。韦依猜想就是问，如果在射影非奇异代数簇上定义这样的zeta函
数，是否同样的性质还是正确的。特别地，象Betti数这样的拓扑量是否会在zeta 函数里
面出现？这种猜想中的代数几何和拓扑的联系，暗示当时的一些新工具，比如说为研究拓
扑空间而发展出来的上同调理论，可能适用于代数簇。由于和经典黎曼假设的类似，韦依
猜想的第三条有时也叫作“同余黎曼假设”；这个猜想后来被证实是三个中最难证明的。


“韦依猜想一经问世，很显然它们会由于某种原因而将扮演一个中心角色，”Katz说道,“
这不仅因为它们就是作为‘黑盒子’式的论断也是令人惊异的，而且因为看上去很清楚要
解决它们将需要发展很多不可思议的新工具，这些工具它们自身将由于某种原因具有不可
思议的价值——这些后来都被证明是完全正确的。”高等研究院的皮埃尔－德林（Pierre
 Deligne）说（韦依猜想）吸引格洛腾迪克的地方正是代数几何和拓扑的猜测联系。他喜
欢这种“将韦依的这个梦想变成强大的机器”的想法，Deligne评论道。

格洛腾迪克不是由于韦依猜想很有名、或者由于别人认为它们很难而对韦依猜想感兴趣的
。事实上，他并不是靠对困难问题的挑战来推动自己。他感兴趣的问题，是那些看上去会
指向更大而又隐藏着的结构。“他目标在于发现和创造问题的自然栖息之家，”Deligne注
意到，“这个部分是他感兴趣的，尤甚于解决问题。”这种方式和同时代另外一位伟大数
学家约翰－纳什（John Nash）的方式形成鲜明对照。在他的数学黄金时代，Nash喜欢找那
些被他同事们认为是最重要、最有挑战性的问题来做。“Nash象一个奥运会的运动员，”
密歇根大学的Hyman Bass评论道。“他对众多的个人挑战感兴趣。”如果Nash不算是一个
善于解决问题的理想范例，格洛腾迪克绝对算是建构理论的完美范例。Bass说，格洛腾迪
克“有一种关于数学可能是什么的高屋建瓴般的观点。”

1958年秋，格洛腾迪克开始了他到哈佛大学数学系的多次访问的第一次。Tate其时正是那
里的教授，而系主任是奥斯卡－察里斯基。那时候格洛腾迪克已经用新发展的上同调的方
法，重新证明了连通性定理，Zariski最重要的成果之一，于 1940年代首次被其证明。根
据当时是Zariski学生，现在布朗大学的大卫－曼福德（David Mumford）的话，Zariski自
己从没有学会这些新方法，但是他明白它们的能力，希望他的学生们受到新方法的熏陶，
因此他邀请格洛腾迪克来访问哈佛。

Mumford注意到察里斯基和格洛腾迪克他们相处得很好，尽管作为数学家他们是完全不同的
。据说察里斯基如果被一个问题难住的时候，就会跑到黑板前，画一条自相交曲线，这样
可以帮助他将各种想法条理化。“谣传他会将这画在黑板的一个角落里，然后他会擦掉它
，继续做代数运算。”Mumford解释说，“他必须通过创造一个几何图像、重新建构从几何
到代数的联系来使自己思维清晰。”根据曼福德的话，这种事格洛腾迪克是绝对不会做的
；他似乎从不从例子开始研究，除那些特别简单、几乎是平凡的例子外。除去交换图表外
，他也几乎不画图。

当格洛腾迪克首次应邀到哈佛的时候，他和察里斯基在访问前通过几次信，曼福德回忆道
。这时离众议院非美活动委员会的时代不久，得到签证的一个要求是访问者宣誓自己不会
从事推翻美国政府的活动。格洛腾迪克告诉察里斯基他拒绝做这样的宣誓。当被告知他可
能会因此进监狱时，格洛腾迪克说进监狱可以接受，只要学生们可以来探访他而且他有足
够多的书可用。

在格洛腾迪克哈佛的讲座上，曼福德发现到抽象化的跃进相当惊险。有一次他询问格洛腾
迪克某个引理如何证明，结果得到一个高度抽象的论证作为回复。曼福德开始时不相信如
此抽象的论证能够证明如此具体的引理。“于是我走开了，将它想了好几天，结果我意识
到它是完全正确的。”曼福德回忆道,“他比我见到的任何人都更具有这种能力，去完成一
个绝对令人吃惊的飞跃到某个在度上更抽象的东西上去…他一直都在寻找某种方法来叙述
一个问题，看上去很明显地将所有的东西都从问题里抛开，这样你会认为里面什么都没有
了。然而还有些东西留了下来，而他能够在这看上去的真空里发现真正的结构。”

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