MSE12 版 (精华区)

发信人: Orthogonal (蒸饺), 信区: MSE12       
标  题: 仿佛来自虚空（8）
发信站: BBS 听涛站 (Wed Dec 15 21:33:28 2004)

魔术扇子

如果说数学里有什么东西让我比对别的东西更着迷的话（毫无疑问，总有些让我着迷的）
，它既不是“数”也不是“大小”，而是型。在一千零一张通过其型来展示给我的面孔中
，让我比其他更着迷的而且会继续让我着迷下去的，就是那隐藏在数学对象下的结构。
                                《收获与缝补》，第27页


在《收获与缝补》第一卷里，格洛腾迪克对他的工作作了一个解释性的概括，意在让非数
学家能够理解（第25－48页）。在那儿他写道，从最根本上来讲，他的工作是寻找两个世
界的统一：“算术世界，其中（所谓的）‘空间’没有连续性的概念，和连续物体的世界
，其中的‘空间’在恰当的条件下，可以用分析学家的方法来理解”。韦依猜想如此让人
渴望正是因为它们提供了此种统一的线索。胜于直接尝试解决韦依猜想，格洛腾迪克大大
地推广了它们的整个内涵。这样做可以让他感知更大的结构，这些猜想所凭依于此结构，
却只能给它提供惊鸿一瞥。在《收获与缝补》这一节里，格洛腾迪克解释了他工作中一些
主要思想，包括概型、层和拓扑斯。

基本上说，概型是代数簇概念的一个推广。给定一组素特征有限域，一个概型就可以产生
一组代数簇，而每一个都有它自己与众不同的几何结构。“这些具有不同特征的不同代数
簇构成的组可以想象为一个‘由代数簇组成的无限扇面的扇子’（每个特征构成一个扇面
），”格洛腾迪克写道.“‘概型’就是这样的魔术扇子，就孺扇子连接很多不同的‘分支
’一样，它连接着所有可能特征的‘化身’或‘转世’。”到概型的推广则可以让大家在
一个统一方法下，研究一个代数簇所有的不同“化身”。在格洛腾迪克之前，“我认为大
家都不真正相信能够这样做，”迈克－阿廷评论说，“这太激进了。没有人有勇气哪怕去
想象这个方法可能行，甚至可能在完全一般的情况下都行。这个想法真的太出色了。”

从19世纪意大利数学家Enrico Betti的远见开始，同调和它的对偶上同调那时候已经发展
成为研究拓扑空间的工具。基本上说，上同调理论提供一些不变量，这些不变量可以认为
是衡量空间的这个或那个方面的‘准尺 ’。由韦依猜想隐含着的洞察力所激发的巨大期望
就是拓扑空间的上同调方法可以适用于簇与概型。这个期望在很大程度上由格洛腾迪克及
其合作者的工作实现了。 “就象夜以继日一样将这些上同调技巧带到”代数几何中，曼福
德注意到。“它完全颠覆了这个领域。这就象傅立叶分析之前和之后的分析学。你一旦知
道傅立叶分析的技巧，突然间你看一个函数的时候就有了完全深厚的洞察力。这和上同调
很类似。”

层的概念是由让－勒雷所构想而后由亨利－嘉当和让-皮埃尔－塞尔进一步发展的。在他的
奠基性文章FAC（“Faisceaux algebriques coherents”,“代数凝聚层”，[FAC]）中，
塞尔论证了如何将层应用到代数几何中去。格洛腾迪克在《收获与缝补》中描述了这个概
念如何改变了数学的全貌：当层的想法提出来后，就好象原来的五好标准上同调“准尺”
突然间繁殖成为一组无穷多个新“准尺”，它们拥有各种各样的大小和形状，每一个都完
美地适合它自己独特的衡量任务。更进一步说，一个空间所有层构成的范畴包含了如此多
的信息，本质上人们可以“忘记”这个空间本身。所有这些的信息都包括在层里面——格
洛腾迪克称此为“沉默而可靠的向导”，引领他走向发现之路。

拓扑斯的概念，如格洛腾迪克所写，是“空间概念的变体”。层的概念提供了一种办法，
将空间所依附的拓扑设置，转化为层范畴所依附的范畴设置。拓扑斯则可以描述为这样一
个范畴，它尽管无需起因于普通空间，然而却具有所有层范畴的“好”的性质。拓扑斯的
概念，格洛腾迪克写道，突出了这样的事实：“对于一个拓扑空间而言真正重要的根本不
是它的‘点’或者点构成的子集和它们的亲近关系等等，而是空间上的层和层构成的范畴
”。

为了提出拓扑斯的概念，格洛腾迪克“很深入地思考了空间的概念”，Deligne评价道。“
他为理解韦依猜想所创立的理论首先是创立拓扑斯的概念，将空间概念推广，然后定义适
用于这个问题的拓扑斯，”他解释说。格洛腾迪克也证实了“你可以真正在其上面工作，
我们关于普通空间的直觉在拓扑斯上仍然适用…这是一个很深刻的想法。”

在《收获与缝补》中格洛腾迪克评论道，从技术观点而言，他在数学上的大多工作集中在
发展所缺乏的上同调理论。平展上同调（Etale cohomology）就是这样一种理论，由格洛
腾迪克、迈克－阿廷以及其他一些人所发展，其明确意图是应用于韦依猜想，而它确实是
最终证明的主要因素之一。但是格洛腾迪克走得更远，发展了motive的概念，他将此描述
为“终极上同调不变量”，所有其他的上同调理论都是它的实现或者化身。Motive的完整
理论至今还没有发展起来，不过由它产生了大量好的数学。比如，在1970年代，高等研究
院的Deligne和 Robert Langlands猜想了motives和自守表示间的精确关系。这个猜想，现
在是所谓Langlands纲领的一部分，首次以印刷形式出现在[Langlands]一文中。多伦多大
学的James Arthur认为彻底证明这个猜想将是数十年后的事情。但他指出，Andrew Wiles
 的Fermat大定理的证明，本质上就是证明了这个猜想在椭圆曲线所产生的2维motives的特
殊情况。另外一个例子是高等研究院的 Vladimir Voevodsky在motivic上同调的工作，由
此他获得2002年菲尔兹奖章。这个工作发展了格洛腾迪克关于motive的一些原始想法。

在此关于他数学工作的简短回顾中，格洛腾迪克写道，构成它的精华和力量的，不是大的
定理，而是“想法，甚至梦想”（第51页）。

--

※ 来源:·BBS 听涛站 http://tingtao.net·[FROM: 219.224.183.46]