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标  题: 今天非晶课上的最密堆球的讨论续
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【 以下文字转载自 MSE43 讨论区 】
发信人: littlebone (圡鳖PigBone), 信区: MSE43
标  题: 今天非晶课上的最密堆球的讨论续
发信站: BBS 听涛站 (Tue Oct 16 21:46:23 2007), 站内

在网上查到的信息
http://baike.baidu.com/view/481427.html
en.wikipedia.org/wiki/Kepler_conjecture

我的理解是对于这个问题，科学家走了两条路线，一条是证明开普勒是对的；另一条是给出
非格点装箱（对应非晶）的可能的密度理论上限，但不给出具体图形。
走第二条路的，现在最多算出0.77多，限定任何密堆都不可能超过这一密度，但是否有一种堆积方式的密度可以达到那么高就不得而知了。而第一条路基本上已经走通，被证实了（得到多数认可）。
所以，应该可以放心地说，在大空间内无论怎么密堆都不会超过FCC的堆积密度了，至于老师上课说到的，估计是走第二条路的数学家的推测，有些断章取义。

PS：对于足够大的空间，确实是FCC是最密排；但是足够小的空间可以找到比0.74更密的堆积。In fact, there are irregular arrangements that are denser than the cubic close packing arrangement over a small enough volume, but any attempt to extend these arrangements to fill a larger volume always reduces their density.

球体填充问题
如果把一大堆的乒乓球倒进一个箱内，倒至最後还剩下几个，但看来箱子也满了，你会怎样做呢？用力把乒乓球压下去吗？当然不会，聪明的你会尝试把箱子抖几下，使球与球之间的空隙减少，好让你可以把剩馀的几个放进箱子内。这个经验可能很多人也有过，但你又可想到这个乒乓球装箱的问题，其实是一个数学上的难题呢？
……
1611年，著名的天体物理学家开普勒（Johannes Kelper，公元1571年─1630年）写了一本小册子《新年的礼物──论六出的雪花》，当中提到一种球体装箱的方法，并猜想这是一种「最密」的装箱方法。他的方法是这样的：考虑一个边长为2的正立方体，分别以它的八个顶点及六个面的中心为球心，以[sqrt(2)/2]为半径作球，因此在这正立方体内，球的体积便有4个整球的体积（八个角，每个角有八分一个球；六个面，每个面有半个球），所以密度如下：

{4 x 4π[sqrt(2)/2]3/3}/23 = π/[3 x sqrt(2)] = 0.740480...

也就是说，开普勒认为球体装箱的密度上确界为π/sqrt(18)，并以π/sqrt(18)为最密。
……
直至到1831年，高斯（Gauss）证明了开普勒的猜想在「格点型」的装箱法是成立的，所谓格点型便是当用坐标表示时，所有的球心也在坐标和是偶数的整数点上。

但1883年，巴洛（Barlow）发现有无穷多的非格点装箱方法其密度（极限值）也是π/sqrt(18)，而开普勒的猜想对非格点的装箱方法仍然是有待证明。在这百多年间，很多数学家不断给出密度的上界的值，当中以1993年，墨德尔（Muder）的数值最佳，约0.77305。
……
另一方面，托特（Tóth）曾提出解决这猜想可以尝试用电脑方法，而在1998年，美国密芝根大学的希尔斯（Hales）宣称他利用电脑的协助，解决了开普勒的猜想，证明猜想对所有装法也是正确。整个证明共250页及3Gb的电脑资料，现在放了在互联网希尔斯的网址中给同业验证，有数学界人士认为这次证明的真确性很高，但仍然有待考证。 

Kepler conjecture
From Wikipedia, the free encyclopedia
(Redirected from Kepler Conjecture)
In mathematics, the Kepler conjecture is a conjecture about sphere packing in three-dimensional Euclidean space. It says that no arrangement of equal spheres filling space has a greater average density than that of the cubic close packing (face-centered cubic) and hexagonal close packing arrangements. The density of these arrangements is a little over 74%.

In 1998 Thomas Hales, currently Andrew Mellon Professor at the University of Pittsburgh, announced that he had a proof of the Kepler conjecture. Hales' proof is a proof by exhaustion involving checking of many individual cases using complex computer calculations. Referees have said that they are "99% certain" of the correctness of Hales' proof. So the Kepler conjecture is now very close to becoming a theorem.

Contents
1Background
2Origins
3Nineteenth century
4Twentieth century
5Hales' proof
6A formal proof
7Related problems
8References
9External links
 


[edit]Background
Imagine filling a large container with small equal-sized spheres. The density of the arrangement is the proportion of the volume of the container that is taken up by the spheres. In order to maximize the number of spheres in the container, you need to find an arrangement with the highest possible density, so that the spheres are packed together as closely as possible.

Experiment shows that dropping the spheres in randomly will achieve a density of around 65%. However, a higher density can be achieved by carefully arranging the spheres as follows. Start with a layer of spheres in a hexagonal lattice, then put the next layer of spheres in the lowest points you can find above the first layer, and so on - this is just the way you see oranges stacked in a shop. This natural method of stacking the spheres creates one of two similar patterns called cubic close packing and hexagonal close packing. Each of these two arrangements has an average density of


The Kepler conjecture says that this is the best that can be done—no other arrangement of spheres has a higher average density.


[edit]Origins
The conjecture is named after Johannes Kepler, who stated the conjecture in 1611 in Strena sue de nive sexangula (On the Six-Cornered Snowflake). Kepler had started to study arrangements of spheres as a result of his correspondence with the English mathematician and astronomer Thomas Harriot in 1606. Harriot was a friend and assistant of Sir Walter Raleigh, who had set Harriot the problem of determining how best to stack cannon balls on the decks of his ships. Harriot published a study of various stacking patterns in 1591, and went on to develop an early version of atomic theory.


[edit]Nineteenth century
Kepler did not have a proof of the conjecture, and the next step was taken by German mathematician Carl Friedrich Gauss, who published a partial solution in 1831. Gauss proved that the Kepler conjecture is true if the spheres have to be arranged in a regular lattice.

This meant that any packing arrangement that disproved the Kepler conjecture would have to be an irregular one. But eliminating all possible irregular arrangements is very difficult, and this is what made the Kepler conjecture so hard to prove. In fact, there are irregular arrangements that are denser than the cubic close packing arrangement over a small enough volume, but any attempt to extend these arrangements to fill a larger volume always reduces their density.

After Gauss, no further progress was made towards proving the Kepler conjecture in the nineteenth century. In 1900 David Hilbert included it in his list of twenty three unsolved problems of mathematics—it forms part of Hilbert's eighteenth problem.


[edit]Twentieth century
The next step towards a solution was taken by Hungarian mathematician László Fejes Tóth. In 1953 Fejes Tóth showed that the problem of determining the maximum density of all arrangements (regular and irregular) could be reduced to a finite (but very large) number of calculations. This meant that a proof by exhaustion was, in principle, possible. As Fejes Tóth realised, a fast enough computer could turn this theoretical result into a practical approach to the problem.

Meanwhile, attempts were made to find an upper bound for the maximum density of any possible arrangement of spheres. English mathematician Claude Ambrose Rogers established an upper bound value of about 78% in 1958, and subsequent efforts by other mathematicians reduced this value slightly, but this was still a long way above the cubic close packing density of 74%.

There were also some failed proofs. American architect and geometer Buckminster Fuller claimed to have a proof in 1975, but this was soon found to be incorrect. In 1993 Wu-Yi Hsiang at the University of California, Berkeley published a paper in which he claimed to prove the Kepler conjecture using geometric methods. Some experts countered, claiming he gave insufficient support for some of his claims. Although nothing incorrect per se was found in Hsiang's work, general consensus has been reached, concluding that Hsiang's proof is incomplete. One of the most vocal critics was Thomas Hales, who at the time was working on his own proof.


[edit]Hales' proof
Following the approach suggested by Fejes Tóth, Thomas Hales, then at the University of Michigan, determined that the maximum density of all arrangements could be found by minimising a function with 150 variables. In 1992, assisted by his graduate student Samuel Ferguson, he embarked on a research programme to systematically apply linear programming methods to find a lower bound on the value of this function for each one of a set of over 5,000 different configurations of spheres. If a lower bound (for the function value) could be found for every one of these configurations that was greater than the value of the function for the cubic close packing arrangement, then the Kepler conjecture would be proved. To find lower bounds for all cases involved solving around 100,000 linear programming problems.

When presenting the progress of his project in 1996, Hales said that the end was in sight, but it might take "a year or two" to complete. In August 1998 Hales announced that the proof was complete. At that stage it consisted of 250 pages of notes and 3 gigabytes of computer programs, data and results.

Despite the unusual nature of the proof, the editors of the Annals of Mathematics agreed to publish it, provided it was accepted by a panel of twelve referees. In 2003, after four years of work, the head of the referee's panel Gábor Fejes Tóth (son of László Fejes Tóth) reported that the panel were "99% certain" of the correctness of the proof, but they could not certify the correctness of all of the computer calculations.

In February 2003 Hales published a 100-page paper describing the non-computer part of his proof in detail.

The Annals of Mathematics is going ahead with publishing the theoretical portions of Hales' proof. The computational portions will be published in a separate journal, Discrete and Computational Geometry.


[edit]A formal proof
In January 2003 Hales announced the start of a collaborative project to produce a complete formal proof of the Kepler conjecture. The aim is to remove any remaining uncertainty about the validity of the proof by creating a formal proof that can be verified by automated proof-checking software such as HOL. This project is called Project FlysPecK - the F, P and K standing for Formal Proof of Kepler. Hales estimates that producing a complete formal proof will take around 20 years of work.



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学忌躁，行忌缓


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