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发信人: sunzy (热气球·嗡阿吽班杂咕噜叭嘛悉地吽), 信区: material
标 题: Re: 谁给我一篇马哲论文呀?
发信站: 听涛站 (2002年04月15日11:36:21 星期一), 站内信件
数学向何处去
绝大多数有知识的人今天仍然认为数学是关于物质世界的不可动摇的知识体系,数学推理是准确无误的。然而,早在19世纪前期非欧几何创立之时,数学的绝对真理性就已经动摇了。更为不幸的是,数学的第三次危机没有像前两次一样得到成功的解决,而是把数学推向了令人窘迫的境地
,至少对数学家是如此。关于这段历史,著名的数学史专家M·克莱因描述道:"作为逻辑结构,数学已处于一种悲惨的境地,数学家们以向往的心情回顾这些矛盾被认识以前的美好时代。"至今为止,这种尴尬已延续了百年之久。今日的数学家仍需面对这样一个问题:数学向何处去?
庞卡莱说过:"如果我们想要预见数学的将来,适当的途径是研究这门科学的历史和现状。"因此,我们有必要简短地回顾一下数学的真理性是如何被确立,又如何被推翻的。
数学作为一种逻辑结论和认识自然的一种手段,是古希腊人创造出来的。由于篇幅所限,下面仅介绍毕达哥拉斯,柏拉图和亚里士多德的观点。毕达哥拉斯学派在探索自然界原理时发现,物理上大不相同的物体却具有相同的数学性质,进而提出"万物皆数"的观点。这种观点虽经过了许多
事实的验证,然而其主观性是显而易见的,并没有确实可靠的根据。柏拉图比毕达哥拉斯学派更进了一步:他不仅渴望认识大自然,而且他为达到基于数学原则的理想世界(按柏拉图的想法,理想世界才是真正的现实),超越了自然界的范围。柏拉图认为,对外部世界进行一些精密观察
形成了一些基本的思想观念,然后智慧对其进行完善。进一步观察的必要性也就失去了。在进行了一些原始的观察之后,自然界的观察应完全被所数学取代。对于柏拉图来说,数学不过是观念和感性经验材料之间的中间物:他认为数学就是现实本质的精确反映。柏拉图也就为演绎公理法
奠定了基础。柏拉图在这一方法中看到了使积累知识系统化和获得新知识的理想方法。亚里士多德不同意柏拉图的数学是客观存在的观点,认为数学是人类理性的产物,但对于数学与现实世界的关系问题,他支持宇宙的数学计划说法。总体上,古希腊人的世界观为:自然界是被合理地安
排好了的,而一切现象都市按一个精密的不可变的计划进行的。这个计划归根到底就是数学计划。这样,数学的真理性就被确立起来了。
直至欧洲文艺复兴时期,自然界的数学设计思想都没有得到进一步的发展,但值得庆幸的是。希腊著作被保存下来了。从希腊著作中,文艺复兴的领袖们知道了自然是依照数学设计的,而且这种设计是和谐统一、美妙悦人的,它正是自然界的内在真理所在。由于宗教统治的结果,中世纪
学者把所有的方案和行为都归于上帝,而且天主教学说中绝不会包括自然界的数学设计这样的希腊教条,那么怎样使试图弄清上帝的宇宙和探求自然界的数学法则和谐一致呢?答案就是增加一条教义,即上帝依照数学设计了宇宙。从而,数学的真理性在上帝那里得到了保证。在16--18世
纪中,数学家的工作实质上是宗教的需要,数学的进展和它在自然科学中应用的神奇的有效性都被看成是上帝的英明的证明。像哥白尼、开普勒、笛卡尔、伽利略、牛顿和莱布尼兹等人,都是上帝的忠实的信徒,它们在数学的精妙伟大之中感受上帝的崇高。然而,正是他们的工作使得上
帝的信仰逐渐被粉碎。正当牛顿为自己的工作揭示了无所不在的上帝之秘密而被感欣慰时,莱布尼兹批评牛顿的《自然哲学的数学原理》 暗示:不论有没有上帝,世界依然我行我素。莱布尼兹的话并没有错,牛顿的工作无意中使自然科学第一次从神学中分离或解放出来。此后,部分数学
家成了无神论者,如拉格朗日、拉普拉斯。自然开始代替上帝。被称为"数学家之王"的高斯说:"你,自然,我的女神,我对你的规律的贡献是有限的。"
我们已经知道,自然是上帝的数学设计这一信条恰是被数学家的工作削弱的。这种信仰的衰退不久就产生了一个问题,即为什么自然的数学法则一定是真理呢?18世纪的哲学家们是否认物质世界真理的先驱。休谟否认了外部世界遵循固定的数学定律这一信条,否认真理的存在。尽管伟大
的哲学家康德反对休谟的观点,并举证数学公理和定理都是真理。康德的一个出发点是,空间只有一个,即欧氏空间。但很快非欧几何的发现告诉我们:也许客观的空间只有一个,但数学中有多种几何。数学的真理性最终被自己推翻了。
由于数学的绝对真理性被否定,在西方数学哲学家中出现了不同的数学真理观,甚至还出现了反真理论的观点。我们先来看数学真理性问题上的悲观主义。悲观主义者的论据主要有:
① 非欧几何等非标准模型的建立。例如,M·克莱因认为:"代数和算术根本不能给出真理。"
② 数学基础研究的失败。例如,在拉卡托斯看来,数学基础研究中各个学派的失败就证明了:即使就欧几里德主义的最后一个堡垒--数学而言,证实的努力也是注定要失败的,因此我们就应当承认波普的证伪主义理论在数学中也是有效的。这就是说,虽然(数学)真理是存在的,但它
们是不能达到的;而且,即使达到了真理,我们也无法予以证实。因而,我们就"永远不能宣称达到真理"。(K·波普:《猜测与反驳》第278页。)
③ 悖论的发现。要给出严格意义下(例如,在希尔伯特所规定的条件下)的关于数学理论的无矛盾性的证明是不可能的,从而,悖论问题也就不可能一劳永逸地得到彻底的解决。
④ 局限性定理。这主要是指哥德尔的不完备性定理,由于这一定理表明任何足够丰富的形式系统都是不完备的,即总存在这样的命题,它是真的,但与之相对应的命题却无法在系统内得到证明。因此,在一部分西方数学家看来,这也就证明了人类的认识具有绝对不可逾越的界限。
这些论点或根本否认数学的真理性,或否认数学真理的可认识性。下面,我们逐一对其进行分析。
① 非标准模型的意义。非标准模型的构造是对数学的绝对真理性和先验性的直接否定,但不能看成是对数学理论真理性的直接否定。因为非标准模型的建立所造成的是两种(或几种)互不相融的数学理论同时存在的局面,而没有构成对原有理论的直接否定。更为重要的是,决定数学理
论真理性的最终依据是实践,而不是什么别的标准。由于各种标准理论(几何,算术,代数等)都已经接受了时间的长期检验,因此它们的真理性就不可能被完全否定。总的来说,非标准模型的建立表明了标准或非标准的数学理论各有其特定的适用范围,都是一种相对真理。
② 悖论和局限性定理的意义。首先,悖论和局限性定理的确都表明了人类认识的局限性。对悖论的认识是人类认识(包括认识方法)的历史局限性的认识;局限性定理则更具体的表明了形式化研究方法(即演绎方法)的局限性。但是,这里并不存在绝对不可逾越的界限。就悖论而言,
我们已经知道,任何悖论都可以在一定的形式下得到相对的解决,而解决悖论的过程实质上就是发展认识以超越认识的历史局限性的过程。例外,就局限性定理而言,它们所表明的也只是形式化方法的局限性,因此,只要将形式的研究与内容的分析有机地结合起来,这里也就不存在什么
绝对不可逾越的界限。
③ 一般地说,对数学的真理性采取绝对肯定或绝对否定的态度都是错误的,而这正是基础研究中的各个学派(逻辑主义,直觉主义和希尔伯特的形式主义)以及拉卡托斯的证伪主义的错误所在。事实上,数学的发展历史已经清楚地表明,数学的发展是一个辩证的过程,其中既包含不连
续的一面,又包含有连续的一面;既有证伪,又有证实;既有猜测,又有论证;既有排斥,又有积累;……。
我们必须承认数学的真理性和数学真理的可认识性 。事实上,这正是西方大多数数学家在数学真理观上所采取的基本立场。M·斯坦纳所说,"这是一个基本事实,就是人们具有一定的对数学真理的认识。"(M. Steiner:《数学的认识》)显然,如果对此有所怀疑的话,事实上就等
于从根本上取消了已有的数学工作的意义。
在1901年,罗素说道,"现代数学的最主要成就在于发现了什么是真正的数学。"数学在发展了25个世纪之后,笼罩在其上的人类假想的真理光环才被摘掉。所谓的数学真理,不过是人类在创造它一开始就犯的错误。这一认识上的错误如今已得到澄清,这是一个人类认识的巨大进步。数学
的神秘色彩消褪了许多,或许数学的地位不再如从前一样神圣,但它与人的距离缩短了,亲切了。因此,数学家们不应该悲观, 而应受到鼓舞。当数学面临困难的时候,也恰是数学家大显身手的时候。数学真理性已经受到质疑,然而,数学的正确性目前并未被怀疑。数学为什么正确呢?
讨论这个问题,我们仍要用"数学真理"一词,当然,它的含义已经改变,不再代表绝对真理。值得注意的是,在前文的讨论中,我们已这样用了。
数学家们对数学真理进行了进一步的研究,发现在数学真理性问题的研究中,应区分两种不同的数学真理性问题,即个别命题相对于理论前提的逻辑正确性(称为"内部真理性" )即理论作为一个整体的真理性(称为"外部真理性" )。此外,从系统观的角度看,真理是具有一定结构,层
次和整体功能的有机体。我国的徐利治教授等就曾提出:数学真理是具有一定的层次结构的。并认为数学的层次结构可分为:
第一层次--逻辑合理性,
第二层次--模式真理性,
第三层次--现实真理性。
关于数学真理性的探讨有很多,在此不再赘述。但必须强调这种探讨的重要性,因为对数学真理的理解指导着数学家的工作。
数学的内部真理性是不容怀疑的,否则,数学便不复存在了。倘若承认数学的内部真理性,那么外部真理性问题便转化成了数学基础的正确性问题。20世纪初,数学家们,主要有集合论公理化派,逻辑主义,形式主义和直觉主义等流派,忙于建立数学基础,但都以失败告终。在这里,我
们将试着分析失败的原因。这将有助于人们(包括数学家)理解数学是什么。
众所周知,集合论公理化派使用了"无限"这个概念,而"无限"引发了悖论。魏尔说:数学是关于无限的科学。但迄今为止,人们对于"无限"的认识还是极其有限的。对这一概念的进一步研究对数学的发展有重大的意义。因而,集合论就不能作为数学的基础,因为它不是自明的。
逻辑主义者试图把数学理论建立在逻辑的基础上。他们忘记了数学虽使用逻辑但它并不仅仅是逻辑。即便从逻辑推导出数学的形式,也还是无法包含和穷尽数学的内涵。
形式主义者把数学理论看作一堆无意义的符号系统,有本末倒置的嫌疑。在历史上,数学符号的引进是为了消除文字的歧义性以便讨论。每一数学符号必有确定唯一的含义,倘把符号的含义消除,那么它便于数学无关,尽管它有可能是别的什么。
直觉主义者试图把数学建立在直觉的基础上。诚然,最初数学的建立与直觉有密不可分的关系,但数学毕竟是理性的产物。很多数学家是依赖于直觉的,并且有人宣称,直觉的信念胜过逻辑,就像太阳的灿烂光芒胜过月亮的淡淡青辉一样。我们也必须承认,数学的前进主要是有那些具有
超常直觉的人们推动的,而不是有那些长于做出严格证明的人们。然而,直觉可以作为推动数学的发展的动力,却不能做它的守护神。直觉正确时会推动数学的发展,错误时也不会使数学倒退,正是因为它要经过理性的检验。数学的威力来源于理性,正是理性使数学区别于其它经验学科
。
以上的分析是十分不周全的,并且过于浅显。实际上,这样一篇文章并不适合进行细致严密的分析。下面我们考虑数学基础为什么没建立起来?有两种可能,一是数学家的能力有限,尚未发现建立基础的途径;二是根本不存在统一的基础。因为今日的数学体系十分庞大,新的数学分支不
断涌现。但是我们渴望有人为我们(或我们会努力去)建立数学基础,以便我们在使用数学开拓未知领域时不必担心它的正确性,或者明确指出,有统一数学基础的时代已一去不复返了。
现在数学可分为纯数学与应用数学。现代数学体系已过于庞大,以至于一个人即使穷尽一生的精力于数学之中也还是远远不够的。能够兼顾数学研究与应用的人越来越少了。但应当注意到,虽然纯数学家与应用数学家近乎阵营分明,纯数学与应用数学的分界线却极其模糊。事实上,很难
发现有哪一个数学分支不在被应用,那么纯数学的概念从何而来。除去数学的庞大这一原因外,我们将从另一个角度分析这个问题。
纯数学家的出现与数学的现实状况不无关系。当数学在某种意义上,与物理同样成为一门经验科学。关于数学的正确性便成了数学家们心中挥之不去的阴影。因而,一部分数学家从现实世界中退缩而关注于数学内部的问题,成为纯数学家。因为数学内部的研究不会受到现实的检验,而应
用数学,特别是在解决未知问题时,却时刻受到检验。现在的局面是,数学家们变得对自然科学不再关心,轻视应用。虽然这种局面只有几十年的历史,却足以影响新成长起来的年轻数学家。今日的大多数数学家对数学应用的传统和历史所知甚少,在他们看来,数学一直都是自封的并为
这种自封而自豪。长达两千多年的数学应用传统快要被遗忘了。
大多数数学家对科学的抛弃意味着科学将失去数学?全非如此。少数明智的数学家已经看到,未来的牛顿、拉普拉斯和哈密尔顿将创造出他们所需要的像过去那样伟大的数学。这些人虽名为数学家,实际上却是物理学家。1957年在理利奇(Franz.Rellich)的讣告中,柯朗写道,如果现
在的倾向继续发展下去,"有这样一种危险,未来发展'应用'数学的将是物理学家和工程师,挂着职业数学家头衔的人将与此无关。"柯朗之所以在"应用"一词上打上引号,是因为它实际上意指所有重要的数学。他并不把纯数学与应用数学分开。广义函数与相对论被公认为最优美的数学,
但它们的创立与数学家无关,这是不是一个危险的信号?
强调数学的应用并不是说纯数学家的工作绝对无意义。纯数学家的工作应间接地支持应用,换句话说,为应用提供良好的工具和安全可靠性,而不是随心所欲地做智力上的创造。与应用完全无关的数学,就像电脑游戏一样,只有娱乐价值。但除数学家外,谁还会有时间和脑力作这样娱乐
呢?
回到我们的题目:数学向何处去。相信此时的答案已经明了。运筹学、控制论、信息论、乃至耗散结构理论、协同论、突变论以及模糊数学和分形几何,这些现代数学分支的兴起,都与应用密切相关。科学一直都是维持数学生命力的血液。尽管数学真理已成为昔日神话,它仍是人类智慧
的最高成就。它的影响必将遍及人类社会的每一个角落。数学存在且在发展,因为世界需要它;它也必须按照世界的要求来发展,因为它属于世界。
参考书目:
1、[美] M·克莱因 著,李宏魁 译,"数学:确定性的丧失",湖南科学技术出版社,2001
2、[美] M·克莱因 著,北京大学数学系数学史翻译组 译,"古今数学思想"(第四册),上海科学技术出版社,1981
3、[美] M·克莱因 著,郭思乐 译,"数学真理论",广东教育出版社,1993
4、夏基松、郑毓信,"西方数学哲学",人民出版社,1986
5、王连法,"当代真理论",经济日报出版社,1988
6、邓东皋、孙小礼、张祖贵 编,"数学与文化",北京大学出版社,2001
【 在 ttghost ( 人间一舟) 的大作中提到: 】: 救救我~~
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