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标  题: 五种集合理论的哲学基础(一）
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标  题: 五种集合理论的哲学基础(一）
发信站: 华南网木棉站 (Sun Oct  8 11:10:59 2000), 转信

    自1871年康托尔（Cantor）提出集合理论以来，集合概念成为数学的基本概念，集
合理论成为现代数学的基础理论。但是，随着社会与科学技术的发展，人们逐渐发现了
许多康托尔集合不便描述的事物。为了描述这些事物，美国学者扎德（L.A.Zadeh）于
1965年提出了模糊集合理论，从而使数学摆脱了康托尔集合理论思想的束缚，促使集合
理论向多样性方向发展。改革开放以来，我国数学学术思想空前活跃，进入一个百家争
鸣时代，我国学者先后提出了可拓集合、反演集合等，并引进了国外的粗集合理论等。

笔者认为，如果对这些集合理论思想溯源，则都可归结为源于哲学中的形式逻辑矛盾或
辩证法矛盾。为此，本文从形式逻辑矛盾和辩证法矛盾角度讨论这些集合理论的哲学基
础，研究它们之间的区别。

一、普通集合的哲学基础

1871年，康托尔提出了普通集合概念。在普通集合概念中，集合中任一元素，要么属于
集合，要么不属于集合，二者必居其一，绝不模棱两可。因此，普通集合的哲学基础是
亚里士多德（Aristotle’s）提出的形式逻辑的矛盾律和排中律，即：“A不能既是B又
不是B”和“A是B或不是B”。

所谓形式逻辑矛盾是指事物肯定性概念（是）和否定性概念（非）之间的矛盾。矛盾双
方“有我无你”，“势不两立”。它坚持一个公式：“是则是，否则否，除此之外，都
是鬼话。”既普通集合描述的是客观世界中非此即彼的对象。

由于在客观世界中并非所有现象都是非此即彼现象，因此，普通集合的描述不能囊括客
观世界中的所有现象。从而导致后来产生了各种各样的集合理论。




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人潮人海中  有你有我    相遇相识相互琢磨
    人潮人海中  是你是我    装作正派面带笑容
不必过分多说  自己清楚  你我到底想要做些什么
    不必在乎许多  更不必难过    终究有一天你会明白我

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  你在的时候    生活中充满欣喜
            你走了以后    留下孤单的回忆
                      突然间发现    梦中也可以哭泣
                                                  曾经有你
                                                          不停想你
                                                                  永远爱你

※ 来源:．听涛站 cces.net．[FROM: 匿名天使的家]
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标  题: 五种集合理论的哲学基础(二）
发信站: 听涛站 (Sat Dec 16 20:27:44 2000), 转信

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标  题: 五种集合理论的哲学基础(二）
发信站: 华南网木棉站 (Sun Oct  8 11:15:41 2000), 转信


           二、             模糊集合的哲学基础

在客观世界中，确实存在着既不是百分之百是B，又不是百分之百不是B的事物，许多事
情在“是”与“非”之间存在着一个中介过渡阶段。一个典型例子是“秃子悖论”：
有一根头发算不算秃？有一根头发不算秃不合常理，当然应该算秃。那么两根呢？也应
该算秃，有谁见过脑壳上仅有两根头发就欣喜若狂地宣称自己不是秃子的人？现在改用
数学归纳法，如果n根头发算秃，n+1根头发算不算秃？n根头发算秃n+1根头发不算秃不
合常理，有谁辨别秃子是扒着人家脑袋数头发，“多了一根！不算秃。”

但是，如果n+1根头发算秃，则一根一根的加上去，满头青发都是秃，人人都是秃子。
此类例子很多。例如：年老与年轻; 高个子与矮个子; 美与丑; 胖与瘦; 有矿与无矿;
多与少; 大与小等等。这些例子都能说明：有些事情失去中介过渡阶段，思维会引起混
乱。故普通集合的哲学基础——形式逻辑的矛盾律和排中律不能全面正确地反映客观世
界。

由于普通集合的描述不能囊括客观世界中的各种现象，客观世界中确实存在有既不是百
分之百是B，又不是百分之百不是B的中介过渡阶段，从而启示扎德于1965年提出了模糊
集合(Fuzzy Set)理论。

从哲学角度讲，扎德是放弃了形式逻辑的排中律，而保留了矛盾律，即在是“B”与不是
“B”之间增加了一个模糊中介。也就是在前面“秃子悖论”中的“秃”与“不秃”之间
增加了一个叫做“有些秃”的模糊中介。

在模糊集合中，论域中任一元素，或百分之百属于B，或百分之百不属于B，或以百分数
的形式归属于中介过渡（模糊）区域。换言之，模糊集合的哲学基础是：形式逻辑矛盾
律+模糊中介。



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    人潮人海中  是你是我    装作正派面带笑容
不必过分多说  自己清楚  你我到底想要做些什么
    不必在乎许多  更不必难过    终究有一天你会明白我
  
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  你在的时候    生活中充满欣喜
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                                                  曾经有你
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标  题: 五种集合理论的哲学基础(三）
发信站: 听涛站 (Sat Dec 16 20:30:30 2000), 转信

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标  题: 五种集合理论的哲学基础(三）
发信站: 华南网木棉站 (Sun Oct  8 11:16:49 2000), 转信

         三、             可拓集合的哲学基础

   上述的普通集合涉及的是：“是”与“非”; 模糊集合涉及的是“是”、“模糊中介”
、“非”。1983年，我国蔡文教授受工人将高度超过车间大门的机器搬运进车间里事件
的启示，以及受“罗素悖论”的影响，提出了可拓集合(Extension Set)概念。

蔡文教授注意到：机器由于高度超过车间大门的高度，因而不属于可以搬进车间里的物
体集合。但是，变换事物的特征，把小于入门高度的长换为高，这时的机器就变为属于
能搬进车间里物体的集合的元素。由此，蔡文教授建立了能够描述事物可变性的可拓集
合概念。在可拓集合中，一个元素要么是属于B，要么是不属于B，要么这个元素是原本
不属于B的但可以转变成为属于B（蔡文称为可拓域），要么这个元素是既属于B又是不属
于B的一个中间状态（蔡文称为是对应“中间”事物的临界）。

不难看出，可拓集合与普通集合相比，有两点变化，一是在“非”区域内划出一个可以
在一定条件下转化为“是”区域的子区域，即是在不属于B的范围内增加了一个可以转化
为属于B的子区域; 二是在形式逻辑矛盾的“是”与“非”之间增加了一个可以亦此亦彼
的“临界”区域。因而可拓集合涉及的是：“是”、“临界”、“可拓域”、“非”。

所以我们说可拓集合的哲学基础是：形式逻辑矛盾律+临界+可拓域。

蔡文教授提出的“可拓域”是容易理解的。但对于蔡文教授提出的“临界”区域，笔者
认为需要认真研究，“临界”区域内的任一元素百分之百不属于B，同时又是百分之百属
于B; 这一点在哲学含义上显然与模糊集合中的中介元素以百分数形式归属于B是完全不
同的。

如果说在模糊集合中，扎德是根据“秃子悖论”给出了模糊中介; 那么在可拓集合中，
或许我们可以说蔡文是根据“罗素悖论”给出了“临界”区域。蔡文也自豪地认为在可
拓集合中可避免“罗素悖论”，就像在模糊集合中可以避免“秃子悖论”一样。但需要
注意的是扎德的模糊中介并未否定矛盾律而是仅仅放弃了排中律; 而蔡文的“临界”区
域则是既否定矛盾律又放弃排中律。

可拓集合实际上是将讨论域分成三段：一段上严格遵照形式逻辑矛盾命题（普通集合）
，一段上的形式逻辑矛盾可以转化为非矛盾（可拓域），一段上允许有包含形式逻辑矛
盾的事物存在（“临界”区域）。这种在同一个集合内的某一部分元素上承认矛盾律，
而在另一部分元素上又否定矛盾律的作法值得研究。


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标  题: 五种集合理论的哲学基础(四）
发信站: 听涛站 (Sat Dec 16 20:34:48 2000), 转信

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四、             反演集合的哲学基础

在上述集合理论中，除了康托尔提出的普通集合理论是同时保留了形式逻辑的矛盾律和
排中律外，其它集合理论几乎都是只保留形式逻辑的矛盾律而在放弃排中律上作文章。
故我们可以将上述集合理论的哲学基础归结为形式逻辑矛盾。

我们知道，在哲学中矛盾分两类：一类是形式逻辑矛盾，另一类是辩证法矛盾。辩证法
矛盾与形式逻辑矛盾截然不同，形式逻辑矛盾是指人们在逻辑思维过程中，对同一论断
既给予肯定又给予否定的自相矛盾现象; 辩证法矛盾是指在客观世界中，事物自身所包
含的对立面的统一关系，是指事物自身内部对立的两个侧面（正、反两面）之间的矛盾
。形式逻辑矛盾是一种认识上的逻辑错误，应予排除; 辩证法矛盾是认识对象所固有的
，应予正确地反应。

例如：正电子与非正电子之间是形式逻辑矛盾，一个电子要么是正电子，要么是非正电
子，二者不能同真，其中必有一假。我们不能说一个电子“是正电子”，又说它“不是
正电子”。

正电子与（负）电子之间是辩证法矛盾，正电子与（负）电子一起组成“电子”这个（
统一体）概念，分别代表电子（统一体）的两个侧面。正电子概念是相对于（负）电子
概念而提出的，同理，（负）电子概念也是相对于正电子概念而提出的，正电子与（负
）电子是一一对应，互为存在条件的。正电子一方不存在，另一方（负）电子也将不存
在（负电子也就无所谓“负”），反之同理。正、负电子双方共同处于“电子”概念这
个统一体中，作为统一体的两个侧面，相互依存，同生同灭。

总而言之，形式逻辑矛盾是指事物自身被肯定和被否定之间的矛盾; 辩证法矛盾是指事
物内部对立统一的两个侧面之间的矛盾。

辩证法矛盾和形式逻辑矛盾作为人类思维的两种方式中的矛盾并存于人类思维之中。任
何一个真实的思维过程，都是形式逻辑思维与辩证法思维共同作用的过程，在这个过程
中，辩证法矛盾和形式逻辑矛盾是相辅相成、共同作用的。如果数学仅建立在形式逻辑
矛盾基础上，与辩证法矛盾无关，显然是不够完美的。为此，笔者于1994年提出以辩证
法矛盾为哲学基础的反演集合(Inversion Set)理论，即：论域中任一元素都有两面性，
一面属于正集合，另一面属于反集合，正集合中元素与反集合中元素一一对应，正集合
与反集合互为反演集合。

反演集合可用数学术语描述如下：论域中任一元素 x都有两面性，n维非负映射fa(x) 将
x 的正面性映射到正集合 A 中，n维非负映射fc(x) 将x 的反面性映射到反集合 C 中，
A 与 C 是一对互为反演的集合。反演集合与普通集合的根本区别，在于反演集合解决问
题的出发点是辩证法的“事物总是一分为二的”思想。从某种意义上讲，反演集合就是
在充分肯定以形式逻辑矛盾为基础的普通集合的同时，把普通集合 A（或 C）所对应的
另一半 C（或 A）找回来。因为它们原本就是一对相互依存、同生同灭的孪生兄弟，就
像作用力与反作用力一样不可分割，却让人硬给分开了。现在找回来，并探讨 与 之间
的关系，这就是反演集合理论的实质。

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人潮人海中  有你有我    相遇相识相互琢磨
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