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标  题: 牛顿时代(4)
发信站: 听涛站 (2002年03月21日19:23:09 星期四), 站内信件

    数学方面的改进
    把数理力学应用于天文问题的一个直接结果，便是需要改进研究中所用的工具——
数学。因为这个缘故，刻卜勒、伽利略、惠更斯、牛顿诸人工作的时代，也就是数学知
识与技术进步很大的时代。
    牛顿与莱布尼茨以不同的形式发明了微分学。发明的先后，后来虽有争执，但看来
都是独立发明出来的。变速观念的出现，要求有一种方法来处置变量的变化率。一个不
变的速度可以用在时间t所经过的空间S来量度；不论s与t的大小如何，s/t一量是一定
的。但是如果速度是变化的，那么要找某一瞬间的速度值，只能就一个差不多觉察不出
速度变化的极短的时间来量度在这个时间内经过的空间。当s与t无限地缩小，而成为无
限小时，它们的商数即是那一瞬间的速度，莱布尼茨把这一速度写成ds／dt，而叫做s
对于t的微分系数。牛顿在他的流数法里，把这个数量写作s，这个写法用来不大方便，
现在已被巢寄岽牡男法代替了。我们在这里不过是拿空� 与时间来做例子罢了。其实
任何两个量，只要是彼此依赖，都可用同样的方法来处理。x对于y的变化率都可写作莱
寄岽的记法dx／dy或牛顿的记法x。
    逆转的计算，即微分的总和，或从变率去计算变量本身的方法，叫做积分，常常是
比较困难的工作。在研究某些问题时，如牛顿要从球体中亿万个质点的引力去计算整个
球体的引力，就得用积分法。阿基米得用了类似的方法去计算面积与容积，但他的方法
由于远远超过了他那时代，所以后来就失传了。
    含有微分系数的方程式叫做微分方程式。很多物理的问题都可表达为微分方程式；
困难通常在于求它们的积分，从而求出它们的解答。有一个事实说明牛顿了解这个原理：
他算出了一张数字表，来表达光线在大气中的折射，而所用的方法则无异于列出光线路
径的微分方程式。
    在《原理》中，牛顿把他的结果改成欧几里得几何学的形式，其中许多结果可能是
通过笛卡尔坐标与流数法求得的。微分学迟迟才为人知道；但在莱布尼茨和别尔努利
（Bernouilli）所赋予的形式中，微分学却是现代纯数学和应用数学的基础。
    牛顿在数学的许多别的分支中也有不少贡献。他确立了二项式定理，提出了很多方
程式理论，而且开始使用字母符号。在数理物理学中，除了已经叙述过的动力学和天文
学外，他还创立了月球运行的理论，算出了月球位置表，由这个表可以预测月球在恒星
间的位置。这一工作成果对于航海有无上价值。他创立了流体动力学，包括波的传播理
论，且对流体静力学作了很多的改进。

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