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发信人: raining (萧条庭院), 信区: other
标  题: 分形——自然界的几何学（5）
发信站: 听涛站 (Fri Jan 19 12:25:05 2001), 转信


到最后，我们希望从山峦的分形模拟方法产生一种理论，以描述地球表面的地势起伏。


      既然分形可用于描述复杂的自然界外形，那么分形能描述复杂的动力学系统的行
为也就不足为奇了。正如以前在有关混沌系列文章中所表明的，模拟液体湍流、天气、
或昆虫群体的动力学方程式是非线性的，具有典型的决定论混沌性质。如果对这些方程
做迭代——检验它们在超长时间演变时的解——我们发现，许多数学性质，特别是在做
计算图示时，显示了其自身是自相似的。

      我在非线性分形领域最知名的贡献是提出了曼德布罗特集(Mandelbrot set)。这
种集是由比较简单的方程式做迭代而形成的。它显示出异乎寻常的图形，十分错综复杂
。有人称之为非线性分形几何肖像。

      曼德布罗特集并不仅仅产生美丽的图像。如果我们非常仔细地检验大量的图像就
会发现，无数的实验观测结果能够以数学推测的形式重现。它们当中的许多已经形成颇
具光彩的定理和证明。它也鼓励数学采用新方法，利用计算机屏幕。

      数学推测通常是由事先已知的定理得出的。近几十年，从物理学或制图学没输入
什么东西，这意味着纯数学的某些领域，诸如迭代理论（曼德布罗特集即属于这种理论
），已经失掉动力。在计算机上做出分形图像重新使迭代理论复苏。把相互有关的图像
加以对照便能为数学上的新发现提供深层次的信息。研究曼德布罗特集已经得出许多推
测，它们说起来简单，但却难以证明。分析研究它们已经产生许多有趣的副结果。

      自然，许多相关的分形会产生漂亮的令人赶兴趣的图形。实际上，一些今天被认
为是分形的外形早在许多年之前就已发现。这种数学的某些内容发表在1875年到1925年
期间法国数学界亨利·庞伽莱、皮埃尔·法图和加斯顿·朱丽亚等人的著作中。但没有
人意识到它们作为形象描述的工具以及它们与真实世界物理学有关这两方面的重要意义
。

      一种描述真实世界随机分形的模式叫做凝聚扩散（DLA）随机生成形式。这里产生
了像树一样的令人迷惑的错综复杂的形态。DLA能模拟灰烬的形成，水在岩石中的渗漏，
固体裂纹的扩展和闪电的迸发。

     为看到它是如何形成的，取一非常大的国际象棋棋盘，在棋盘中心置一皇后，她是
不允许移动的。兵，允许它在棋盘上四个方向中的任何一个方向移动，从棋盘边缘上的
随便什么起始点起步，按指示完成随机的，或醉酒者那样的走步。每一步的方向是从四
个相等几率的方向中选定的。当一个兵到达紧靠原始皇后的一个方格，它自己就变成新
的皇后，也就不能进一步移动了。最终，一个树枝状的，而不是网状的皇后群体逐渐形
成，被称为“威顿-桑特DLA族”（“Witten Sander DLA cLUSTER”）。

      完全没有料到，大规模计算机模拟已经证明DLA族是分形；它们差不多是自相似的
。它的很少的部分和很大的部分被缩小以后的形式及其相似。但族和随机形成的线性自
相似性还是有区别的，以后我们会提出某些令人感兴趣的课题。

  
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            你在的时候    生活中充满欣喜
                                           ——曾经有你
            你走了以后    留下孤单的回忆 
                                           ——不停想你 
            突然间发现    梦中也可以哭泣  
                                           ——何必爱你

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