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标  题: 数学的特点   一
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标  题: 数学概观-- 数学的特点
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摘自《数学--它的内容、方法和意义》第一卷
                              [苏]А.Д.亚历山大洛夫 等著  科学出版社 1986.6
　 


    对于任何一门科学的正确概念，都不能从有关这门科学的片断知识中形成，尽管这
些片断知识足够广泛。还需要对这门科学的整体有正确的观点，需要了解这门科学的本
质。本章的目的就是给出关于数学的本质的一般概念。为了这个目的，没有很大必要去
详细考察新的数学理论，因为这门科学的历史和初等数学就已经提供了足够的根据来作
出一般的结论。

    1.甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地察觉到数学的这些特征，第一是它的抽
象性，第二是精确性，或者更好地说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性，最后是它
的应用的极端广泛。

      抽象性在简单的计算中就已经表现出来，我们运用抽象的数字，却并不打算每次
都把它们同具体的对象联系起来，我们在学校中学的是抽象的乘法表一总是数字的乘法
表，而不是男孩的数再乘上苹果的数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱等等。

      同样的在几何中研究的，例如，是直线，而不是拉紧了的绳子，并且在几何线的
概念中舍弃了所有性质，只留下在一定方向上的伸长。总之，关于几何图形的概念是舍
弃了现实对象的所有性质只留下其空间形式和大小的结果。全部数学都具有这种抽象的
特征。关于整数的概念和关于几和图形的概念） --这只是一些最原始的数学概念，之
后才是其他许多达到象复数、函数、积分、微分、泛函、 n维甚至无限维空间等等这样
抽象程度的概念。这些概念的抽象化好象是一个高于一个，一直高到这样的抽象程度，
以致看上去已经失去了同生活的一切联系。以致“凡夫俗子”除了感到“莫名其妙”以
外什么也不能理解。

      事实上情形当然不是这样。虽说几维空间的概念的确非常抽象，但它却有完全现
实的内容，要了解这内容并不那么困难。在这本书里将要特别强调和解释上面列举的那
些抽象概念的现实意义，并且使读者相信这些概念全都是既从它们自身的起源方面也从
实际应用方面同生活联系着的。

      不过，抽象并不是数学独有的属性，它是任何一门科学乃至全部人类思维都具有
的特性。因此，单是数学概念的抽象性还不能说尽数学的特点。

      数学在它的抽象方面的特点还在于：第一，在数学的抽象中首先保留量的关系和
空间形式而舍弃了其他一切。第二，数学的抽象是经过一系列阶段而产生的；它们达到
的抽象程度大大超过了自然科学中一般的抽象。我们将以数学的基本概念：数与形为例
来详细解释这两点：最后一这也是惹人注意的棗数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它
们的相互关系的圈子之中。如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那末
数学家证明定理只需用推理和计算。

      当然，数学家们为了发现自己的定理和方法也常常利用模型，物理的类比，注意
许多单个的十分具体的实例等等。所有这些都是理论的现实来源，有助于发现理论的定
理，但是每个定理最终地在数学中成立只有当它已从逻辑的推论上严格地被证明了的时
候。如果一个几何学家报告一条他所发现的新定理时，只限于在模型上把它表示出来，
那么任何一个数学家都不会承认这条定理是被证明了。对于证明一个定理的要求从中学
的几何课程中就可以很好地了解到了，这种要求贯穿在全部数学中。我们可以极精确地
测量成千个等腰三角形的底角，但这并不能给我们以关于等腰三角形两底角相等的定理
的数学证明。数学要求从几何的基本概念推导出这个结果（现在在几何的严格叙述中基
本概念的性质是精确地表述在公理中），并且总是这样的：证明一个定理对于数学家来
说就是要从这个定理中引用的那些概念所固有的原始性质出发，用推理的方法导出这个
定理。这样看来，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思
辨的。数学结论本身的特点具有根大的逻辑严格性。数学推理的进行具有这样的精密性，
这种推理对于每个只要懂得它的人来说，都是无可争辩和确定无疑的。数学证明的这种
精密性和确定性人们从中等学校的课程中就已很好地懂得了。数学真理本身也是完全不
容争辩的。难怪人们常说：“像二乘二等于四那样的证明”。这里，数学关系式 2×2=4
正是取作不可反驳、无可争辩的范例。

      但是数学的严格性不是绝对的，它在发展着；数学的原则不是一劳永逸地僵立不
动了，而是变化着的并且也可能成为甚至已经成为科学争论的对象。

      归根到底，数学的生命力的源泉在于它的概念和结论尽管极为抽象，但却如我们
所坚信的那样，它们是从现实中来的，并且在其他科学中，在技术中，在全部生活实践
中都有广泛的应用；这一点，对于了解数学是最主要的。

      数学应用得非常广泛也是它的特点之一。

      第一，我们经常地、几乎每时每刻地在生产中、在日常生活中、在社会生活中运
用着最普通的数学概念和结论，甚至并不意识到这一点。例如，我们计算日子或开支时
就应用了算术，而计算住宅的面积时就运用了几何学的结论，当然，这些结论都是十分
简单的不过，记起这一点是有益的：在古代某个时候，这些结论曾经是当时正在萌芽中
的数学的一些很高的成就。

      第二，如果没有数学，全部现代技术都是不可能的。离开或多或少复杂的计算，
也许任何一点技术的改进都不能有；在新的技术部门的发展上数学起着十分重要的作用。

      最后，几乎所有科学部门都多多少少很实质地利用着数学。“精确科学”—力学、
天文学、物理学、以及在很大的程度上的化学一通常都是以一些公式来表述自己的定律
（这是每个从中学毕业人都早已懂得的），都在发展自己的理论时广泛地运用了数学工
具。没有数学，这些科学的进步简直是不可能的。因此，力学、天文学和物理学对数学
的需要恰好也总是在数学的发展上起了直接的、决定性的作用。

      在其他科学中数学起着较小的作用。但是就在这些领域中，它也有重要的应用。
当然，在研究像生物现象和社会现象那样复杂的现象时，数学方法本质上不能起像在物
理学中所能起的那样的作用，数学的应用总是只有与具体现象的深刻理论相结合才有意
义，在这些现象的研究中尤其如此，记住这一点是很重要的，这样才不致迷惑于毫无实
在内容的公式游戏。但是无论如何，数学几乎在所有科学中，从力学到政治经济学，都
有着这样那样的应用。 




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              ………
      想着你  可能去谁或谁怀里
      胡闹猜  搞的我无法呼吸  明明是
      好天气  却感觉下雨的情绪
      我和你  为何都我对不起你
              ………

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