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标  题: 数学的特点   二
发信站: 听涛站 (Sun Dec 10 15:24:08 2000), 转信



      我们来回忆几个在精确科学和技术中特别出色的数学应用的例子。

      太阳系最远的行星之一的海王星是在年在数学计算的基础上被发现的。天文学家
阿达姆斯和勒未累分析了天王星的运动的不规律性，得出结论说：这种不规律性是由其
他行星的引力而发生的。勒未累根据力学法则和引力法则计算出这颗行星应该位于何处，
他把这结果告诉了观察员，而观察员果然从望远镜中在勒未累所指出的位置上看到了这
颗星。这个发现不仅是力学和天文学特别是哥白尼体系的胜利，而且也是数学计算的胜
利。

      另一个同样令人信服的例子是电磁波的发现。英国物理学家麦克斯威尔概括了由
实验建立起来的电磁现象规律，把这些规律表述为方程的形式。他用纯粹数学的方法从
这些方程推导出可能存在着电磁波并且这种电磁波应该以光速传播着。根据这一点，他
提出了光的电磁理论，这理论以后被全面地发展和论证了。但是，除此以外，麦克斯威
尔的结论还推动了人们去寻找纯电起源的电磁波，例如，由振动放电所发射的电磁波。
这样的电磁波果然被赫兹所发现。而不久之后，波波夫就找到了电磁振荡的激发、发送
和接收的办法，并把这些办法带到许多应用部门，从而为全部无线电技术奠下基础。在
己成为公共财富的无线电的发现中，纯粹数学推论的结果也起了巨大的作用。

      科学就是这样从观察，比如观察到由电流而引起磁针偏转，进入概括，进入现象
的理论，进入规律的提出以及它们的数学表达式。新的结论从这些规律中产生，而最后，
理论又体现在实践中，实践也给予理论以向前发展的新的强有力的动力。

      特别值得注意的是，没有从自然科学或技术方面来的直接推动，而仅从数学本身
内部产生的最抽象的数学体系，甚至也有极有价值的应用。例如，虚数在代数中出现了，
在很长一段时间中它们的实在意义却没有被理解，这一情况可以从它们的名称中看出。
但是以后，就在本世纪初对它们给予了几何的解释，从而虚数在数学中完全站住了，并
且建立了复变数（就是 x+y√-1形式的变数）函数的广泛理论。这种所谓“虚”变数的
“虚”函数的理论完全不是虚假的，而是解决许多技术问题的很现实的工具。比如，茹
可夫斯基关于机翼上升力的基本定理正好就是以这个理论作为工具来证明的。又如，就
是这个理论在解决 贪 渗水问题时也显示了它的用处，至于这个问题的意义在巨大的水
电站建设时代是很显然的。

      非欧几里得几何是另一个同样光辉的例子。它是从欧几里得时代起的几千年来人
们想要证明平行公理的企图中，也就是说，从一个只有纯粹数学趣味的问题中产生的。
罗巴切夫斯基创立了这门新的几何学，他自己谨慎地称之为“想象的”，因为还不能指
出它的现实意义，虽然他相信是会找到这种现实意义的。他的几何学的许多结论对大多
数人来说非但不是“想象的”，而且简直是不可想象和荒涎的。可是无论如何罗巴切夫
斯基的思想为几何学的新发展以及各种不同的非欧几里得空间的理论的建立打下了基础；
后来这些思想成为广义相对论的基础之一，并且四维空间非欧几里得几何的一种形式成
了广义相对论的数学工具。于是，至少看来是不可理解的抽象数学体系成了一个最重要
的物理理论发展的有力工具。同样地，在原子现象的近代理论中，在所谓量子力学中，
实际上都运用着许多高度抽象的数学概念和理论，比如，无限维空间的概念等等。

      不必陷于例子的列举；我们已经足够地强调了数学在日常生活实践中，在技术中，
在科学中都有最广泛的应用，并且只从数学本身内部生长起来的理论在精确科学和许多
技术问题中也有其应用。除了数学的抽象性、严格性和它的结论的确定性以外，数学的
另一个特征便是如此。

    2.注意了所有这些数学的特点，我们当然还没有阐明数学的本质，毋宁说只是指出
了数学的外表特征。问题在于要解释这些特点。为此至少应该回答下列问题：

      抽象的数学概念反映什么东西？换句话说，数学的现实对象是怎样的？

      为什么抽象的数学结论如此令人确信无疑，而原始的概念又如此显然？换句话说，
数学方法的基础是什么？

      为什么数学尽管如此抽象，却有最广泛的应用，而不是空洞的抽象把戏？换句话
说，数学的意义从何而来？

      最后，什么样的力量推动数学发展，使它把抽象性和应用的广泛统一起来？换句
话说，数学发展过程的内容是什么，

      回答了这些问题，我们就可以得到关于数学的对象，关于它的方法的根据，关于
它的意义和发展的一般概念，也就是说抓住了它的本质。

      唯心主义者和形而上学者们不但在解决这些问题方面陷于混乱，而且简直是把数
学翻转过来完全加以歪曲。例如，看到数学结论的高度抽象性和明确性，唯心主义者们
就想象说，数学是从纯粹思维中产生的。

      事实上数学没有给唯心主义和形而上学以任何根据；恰好相反，客观地考察一下
全部数学的关系和发展，它正可以给辩证唯物主义提供又一个光辉明证，并且每一步都
反驳了唯心主义和形而上学。我们只要试图从最一般的特点上来回答前面所提出的关于
数学本质的问题，就会相信这一点的。我们也相信对于这些问题的答案已经包含在由马
究思主义经典作家所建立的关于数学以及关于科学和认识一般的本质的原理中了。为了
预先解释这些问题，考察一下算术和初等几何的基础就够了。我们就要开始讨论它们。
进一步深入到数学中去，当然可以加深和发展已经得到的结论，但无论如何不会改变这
些结论。
　
                          摘自《数学--它的内容、方法和意义》第一卷
                              [苏]А.Д.亚历山大洛夫 等著  科学出版社 1986.6
　


  
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              ………
      想着你  可能去谁或谁怀里
      胡闹猜  搞的我无法呼吸  明明是
      好天气  却感觉下雨的情绪
      我和你  为何都我对不起你
              ………

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