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发信人: raining (萧条庭院), 信区: other
标  题: 数学的精神（网友创作）    3
发信站: 听涛站 (Fri Jan 19 12:54:27 2001), 转信


    时间就这样一点一点却又是无可抗拒地从中世纪走到了十九世纪末。科学学
飞速地发展着，正如当时的资本主义一样。神权和君权一点一点地退出了舞台，
科学和经济的力量似乎已经取得了全面的胜利。“上帝死了”，人作为主体出现
在那个喧嚣的世界。“这是一个最好的时代，这是一个最糟的时代”[3]。世界
似乎是永无休止地被开采着，人几乎可以凭机器做到一切想做的事。在自然科学
上，一个与这种自大相对应的是在那时，主流物理学家们认为这个世界的规律已
经被发现完毕了。一九零零年，英国的开尔文勋爵在皇家学会的新年致辞中自负
地宣称，物理学的大厦已经完成，今后物理学家的任务只是把实验做得更精确些
（当然那时他并没有料到，他眼中小小的“两朵乌云”——黑体辐射的理论解释
和迈克尔逊——莫雷实验对以太观念的冲击——引起了现代物理学翻天覆地的变
化）。自然的，社会的终极真理似乎就在人们手边。随后文明世界却遭到了空前
的打击，那就是两次世界大战。在那些年现实中的文明世界秩序已经在意大利，
德国国家社会主义和日本军国主义的冲击下荡然无存了。

    两次世界大战，全人类为此付出了近一亿生命的代价。科学的标志既不是体
现在治病救人的青霉素上，也不是体现在纯粹数学和理论物理的完美结合广义相
对论上，而是体现在可以一次毁灭一个城市的原子弹上。西方人文主义的传统让
位于民族主义和意识形态，二战后东西方两大阵营相互敌对，势不两立。社会主
义阵营的故事我就不说了，美国的麦卡锡先生对美国共产党（毋宁说是同情共产
党的左派知识分子）的迫害也足以名垂青史。与中世纪不同的是，现在没有一个
极权愚蠢到敢于宣称科学在自己之下了，相反地这个权力为了强调自己的正确性
合法性，往往宣称自己是“科学”的。就算它还要迫害知识分子，也是用别的方
法来进行。这种迫害进行的方法说来也很简单，那就是先宣称自己是科学和正确
的化身，然后让每一个公民都相信，不“科学”不“正确”的人或者思想就必须
予以消灭。最后给异端贴标签的工作就比较容易了，各个不同的国家自有不同的
方法和习惯。

    好吧再让我们回到数学吧，回到这个比现实世界优美的避难所吧。让我们从
本世纪的最初看看数学的发展。在这一时期，数学学上出了一件大事。这件事在
正史中当然没有推倒柏林墙那么重要，但是其内在的意义，也许将比那个政治事
件更能让我们的后代共鸣。

    德国数学家希尔伯特于一九零零年在巴黎国际数学家代表大会上作了一次演
讲[4]。在演讲中希尔伯特提出了二十三个公开问题，这些问题后来主宰了二十
世纪（至少是前五十年）的数学研究，几乎所有的第一流数学家都在为攻克这些
难题而奋斗。在这次著名的演讲中，他还说到：“.....每一个确定的数学问题
，.....无论这些问题在我们看来多么难以解决，无论在这些问题面前我们显得
多么无能为力，我们仍然坚定地相信，它们的解答一定能够通过有限步纯逻辑推
理而得到。”这一说法后来被称之为希尔伯特纲领，是人类可以解决一切问题在
 看馑 辩领域的缩减版本。这二十三个问题如今大部分已经被解决或者部分解决
，剩下未被解决的问题是如下几个：

第二问题：算数公里体系的相容性；
第六问题：物理公理的数学处理；
第八问题：素数问题；
第十二问题：Abel域上的Kronecker定理的推广。

这里面后两个基本上是独立的技巧性问题，而前两个却事关整个数学物理的基础
，进而对整个人类科学和逻辑产生影响。我不是搞物理的，就物理公理的数学化
不好作深入的评论，但是这无疑是希尔伯特或者说任何一个相信希尔伯特纲领的
科学家的一个“野心”吧，先在数学领域建立起可以解决一切问题的信心，然后
再把物理数学化，进而推广到一切人类的科学领域。就象运用数学归纳法时我们
要证明两件事：“对最基本的出发点成立；假设对n成立，证对n 1也成立”相仿
，第六问题更象是后一步，而第二问题则更象是前一步（的一个必要条件）。如
果前一步走不通，后一步也就失去了意义。

    为了更好的说明问题，我想我不得不讲点专业化的东西了。大家都知道所有
的自然数{1，2，.....}是个无穷集合，而且肯定也知道全体实数，通常记作R的
也是个无穷集合。直观告诉我们，虽然都是无穷集合，后者比前者应该要“大”
[5]。数学怪才康托(Cantor）第一次给出了一个严格的证明，这个证明我想在实
变函数的第一章就可以找得到。康托还证明了一个和一般人直观很不一致的结论
，那就是一个正方形或者正方体的点数和一条小得可怜的一维线段的点数是“一
样多”的。这样一来一个自然的问题就出来了：有没有一种无穷大，它比自然数
（数学上称之为可数集）的无穷大要大，却又比实数（数学上称之为连续统）的
无穷大要小？这就是有名的希尔伯特第一问题，连续统假设了。

    一九六三年美国的Paul J. Cohen以一个大家都意想不到的方式解决了这个
问题：连续统假设和实数公理体系（Zermelo-Fraenkel公里系统）是相互独立的
，也就是说，我们既不可以用实数公理来证明它，也不可能证伪！希尔伯特幸运
地在这个消息之前很早就去世了，但是不幸地是，在他逝世前十二年（一九三一
年），一个叫哥德尔[6]的年轻人已经彻底击碎了他的理想：在任何一个数学体
系里，一定存在既不能够被证明，也不能够被证伪的命题[7]。那一年希尔伯特
已年近七旬，而哥德尔二十五岁。在这里理想国里老派学者的纲领被年轻人彻底
给击败了。和我们骄傲的宣言正好成对比的是，数学的真理让我们知道我们永恒
的无知。

    时间似乎又回到了两千年前的古希腊。苏格拉底说：“我唯一知道的是我的
无知。”两千年来我们的智力不断地在发展，我们的科学不断地在完善，我们比
起任何一个时代都更有资格判断对错。我们甚至想要运用逻辑去证明一切事物都
可以贴上“正”“误”的标签。然后达到一个正确的天堂。而这时数学又一次改
变了人类的哲学，当人们盲目地崇拜上帝时她用锋利的矛挑战神性，而当人们把
“正确”当做新的偶像来崇拜时，又是她告诉人们，人类任何对真理的认识总有
不足，地上不仅仅没有神的天国，也没有绝对真理的标准。只有对不同的哪怕是
错误的思想的包容并蓄，只有放下打击“错误”的执着，凭着对异端的宽容，我
们才能真正接近真理。


*********

[1] 该诗为英国诗人亚历山大·普伯(Alexander Pope)所作。

[2] 《An Introduction to the History of Mathematics》, Howard Eves

[3] 《双城记》，狄更斯

[4] 《数学问题》，大卫·希尔伯特

[5] 这里的大小关系是按照基数等价类的方式来定义的。集合A和集合B等价指存
在一个映射f:A-->B, f是一一对应。而A“大于”B则是定义为存在A到B的满射，
但A，B间不存在一一对应。

[6] 哥德尔的英文是Kurt Godel, 但是要在中间的“o”上加两点。

[7] 这个结论也许太过于抽象了。Alan Turing（图灵）后来把这个结论用到计
算数学上去，得到如下的结论：存在数和函数不能够被任何logical machine（
图灵机？）所计算。



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            你在的时候    生活中充满欣喜
                                           ——曾经有你
            你走了以后    留下孤单的回忆 
                                           ——不停想你 
            突然间发现    梦中也可以哭泣  
                                           ——何必爱你

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