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标  题: 数学的精神（网友创作）    4
发信站: 听涛站 (Fri Jan 19 12:56:12 2001), 转信



数学的精神----（二）

作为艺术的数学


    如果有同学认真看了我写的序言，会看到我现在是M.A. 和Ph.D. 资格候选人

。这个M.A. 是拉丁文magister artium的缩写，而Ph.D.则是拉丁文

philosophiae doctor的缩写，这两个头衔直接翻译过来就是艺术硕士，哲学博士

资格候选人，看起来似乎和数学一点关系也没有。其实还不光是数学，在很多属于

理科范畴的专业都既有M.A.，也有M.S.（理学硕士）。而在几乎所有的学科，最高

学位都是Ph.D.（另外还有象医学博士M.D., 法学博士J.D.等，但从学术的角度讲

都比Ph.D.要稍差一点）。现在在西方这也只是一种从中世纪流传下来的习惯，不

过在我看来，它还保留有一点象征性的意义----Ph.D：无论什么学科到理论的顶点

都成为哲学；M.A.：自然科学也可以是艺术的一种。

    我相信大家都曾经听说过“数学的美”这个概念。这个概念在课堂教学中虽然

从来不占主要地位，却仍然不断地为数学老师们所叙述。不过就我自己的经验言，

从小学到大学，绝大部分人并不认为这种美比神话故事真实多少。确实，当你面对

成千上万道刁钻古怪的习题，当你必须记住一大堆公式，计算某个数值精确到小数

点后多少多少位，或者解一个要把你的草稿纸横过来放才能写得下的方程组的时候

，如果听到下面这一段话，一定会觉得离自己太遥远了：

    “数学，如果正确地看它，则具有.....至高无上的美----正象雕刻的美，是

一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音

乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺

术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种

觉得高于人的意识----这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里

得到。”[1]

　　正如同欣赏一首用英语写就的英文诗我们必须掌握这一语言一样，数学的公式

和符号，诸公理，定理体系就是这种我们必须要掌握的语言。另一方面，这些语言

本身并不具有美的意义，是它们的组合构成了美。诗有诗的组合法则，散文有散文

的，尽管它们用的可以是一种语言。这种法则是在语言背后的深层结构，通过这种

法则一个文学作品可以表达远远超过自面意义的内涵，从而唤起人们的美感。我们

要“看懂”一首象《荒原》这种技巧复杂的现代诗，不仅仅要懂英文或者看译文，

弄懂它的字面意义，还要通过学习掌握必要的文学欣赏能力。现在对于一个理工科

的大学生而言，基本的几何，代数和分析的工具都可说已经了解了，要看懂一个高

等数学定理证明的每个步骤恐怕都不难，真正极为欠缺的是第二种能力，也就是理

解并领会从左一步，右一步的推导过程中透露出来的内在规范的本领。

　　当今数学界主流认为，数学是研究模式和结构的。模式的一个简单例子就是一

元二次方程 ax^2+bx+c=0，它的解可以借一个带平方根的式子表示出来。这个方程

可以从许许多多完全不同的现实例子中抽象而来，但是其内在的数学性质却是一致

的。在这个模式中，我们注意到a，b，c是“任意”的数，这个简单的事实却隐藏

着一个深刻的思想：我们是把一个涉及无限的命题“解所有一元二次方程”用给定

的条件（a，b，c）和结论（方程的解）之间的关系代替了无穷个具体的数值。现

实问题无穷无尽，甚至每一个具体的问题比如说扔块石头，看看它落到什么地方也

都具有无限精细的内部结构。可是对于人类来说，我们的认识是有限的，我们处理

这些信息的能力就更加有限：我们只能够通过有限步逻辑推理（这是人类唯一能够

做到的思维）去解决问题。我们是在无限中认识有限，又通过模式去把握无限。在

这里重要的不是某个具体的结论，而是从模式中体现出来的可以处理“任意”问题

的方法。这个今天看起来理所当然的方法却经历了漫长的历史才被人类认识到——

从古巴比伦和古埃及发掘出来的资料显示[2]，最早的数学只有数与数之间的

对应，没有一般化的“公式”。按照约简的美学观点，这也是第一个数学的美学判

定法则，今天抽象的二次方程求根公式就比古代一堆（启发性的）具体答案要美。

再进一步抽象，人们就不仅仅满足于解二次方程，而是要解n次方程，相应的模式

就变成了带有n个常数的多项式方程。是不是有一种公式，能够把这些方程的解方

便地表达出来？如果没有，那么我们知道多少？对于不同的方程，我们可以通过方

程的次数n来进行分类，这个次数就是类型的一种指标，不同的类型可以有不同的

处理方法----这种分类的思想，也是现代数学的一个重要特征，以至于布尔巴基学

派[3]甚至认为数学就是一个（脱离主体存在的）真理和方法的仓库，数学家要做

的全部工作，就是把这些精美的货物分门别类。

　　n次代数方程求解实在不是个容易的问题。事实上在将近两千年或者更长的时

间里，代数学的主要任务就是对这个问题给出尽可能多的答案。继二次方程以后，

数学家们又给出了三次方程的求根公式。这个公式里面含有平方根和立方根，而我

们知道，为了让平方根“有意义”，就必须让根式里面的数大于等于零。在二次方

程的情况下如果根式“没有意义”就一定不会有实数解，而在三次方程里却可能会

出现“既约情况”，也就是说在求根公式里出现了“没有意义”的根式，但是如果

我们不管这些，带着根号负一进行计算，那么有时这些不合理的根式会互相抵消而

得到实数解。把它们带回原方程，我们可以检验它们的确是解。现在同学们都知道

，通过引入虚数，那些“没有意义”的根式就根本不成其为一个问题。可是在历史

上虚数的存在性及它的意义曾经引起一场激烈的论战。虚数被讥笑为“数的鬼魂”

，一些象笛卡尔这样的大数学也拒绝承认它。这场争论一直要到一八零零年左右几

何解释虚数成功后才慢慢平静下来。对实用主义者而言，虚数当然是一个计算的工

具，只要它有用就行了，但对于严肃的数学家来说却并非如此。高斯就曾经说过，

关键不在于应用，而在于如果歧视这些虚量，整个分析学就会失去大量的美和灵活

性。为什么认为“歧视虚数”就不美呢？我想这是由于数学中第二个关于美的法则

在起作用：对称性法则。当我们把虚数和实数认为是同样真实，只是分别属于一个

统一的复平面的横轴和竖轴时，所有的代数方程的解对于实数和虚数而言就具有了

一种对称性。而任何人为的“歧视”都将打破这种对称。

    自十六世纪以来，人们就开始研究五次或者更高次的代数方程的求解问题，这

个问题后来被证明是不可能的。有一个证明（按照年代来说是第三个证明）是法国

数学家E·迦罗华[4]在一种更一般的理论框架中给出的。当时他的理论是如此之新

颖和富有创意，以至于直到他死后多年人们才克服了很大的困难弄懂。迦罗华注意

到了对于一个已知方程，它的根的全部置换构成一个现在叫做迦罗华群的集合。而

方程本身的能不能通过根式求解，则和这个集合的性质有关。用现在的语言来讲，

迦罗华群必须是一个可解群，解才可以写为根式。当方程的次数n=1,2,3,4时相应

的迦罗华群是可解群，而当n大于等于5时不是。这套理论被认为是整个数学中最优

美的篇章之一，那么它美在什么地方？第一它比起以前的证明都要简洁，第二它是

通过问题模式中的对称性来解决问题的，最后按照A·波莱尔的说法，是因为它是

以新的概念建筑起来的新结构下提出的原理，显示出巨大的独创性。这里我们得到

一个新的美学概念：独创性。独创性和天才，灵气是分不开的。大家在听肖邦的音

乐，看凡高的画时无疑可以感觉到和一般的音乐，一般的绘画很不一样。这种“不

一样”所附加的美感，我想就是来自独创性。独创性来源于想象力和直觉，而这两

点可以说是所有科学的共同追求目标。毕竟，如果仅仅是记熟了公式，方法，能够

熟练地从事某种工作那只能被称为巧匠而不是大师。 




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            你在的时候    生活中充满欣喜
                                           ——曾经有你
            你走了以后    留下孤单的回忆 
                                           ——不停想你 
            突然间发现    梦中也可以哭泣  
                                           ——何必爱你

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