精华区文章阅读

发信人: raining (萧条庭院), 信区: other
标  题: 数学的精神（网友创作）    5
发信站: 听涛站 (Fri Jan 19 12:57:26 2001), 转信

    就象我在最开头所说的，数学不是讨论具体问题，而是去研究相应的模式。模

式有大有小，2x^2+1x-1=0 的解是X=1/2或者说-1，这个“具体的”结论本身其实

也是一个模式。这不仅仅是因为x可以指代许多具体的事物，还因为任何数，包括

2，1，-1，就已经不是两块橡皮，一根笔，欠一块钱这些具体的东西了。那么这个

“数”本身是什么？以下的一段推理是逻辑主义对数的解释：

    一切均不存在的状态叫做空集Φ。Φ的所有子集构成一个新的集合，叫做Φ的

幂集P{Φ}。而P{Φ}的幂集又是另外一个集合，记为P^2{Φ}。通过一些简单的运

算，我们可以发现P^n{Φ}的基数是2^n，而通过这些集合的并我们可以得到这些基

数到正整数的一个满射。在所有集合（及其映射）构成的范畴里，用基数或者说映

射的一一对应关系做一个等价类，把这些等价类就叫做自然数，那么我们就从无到

有，运用最简单的集合论或者说是逻辑（集合论可以和数理逻辑有严格的一一对应

，一个例子就是交集就相当于逻辑中的“或”）就可以得到整个（包括零的）正整

数。然后就可以通过不相交集合的并来定义“加法”，这个拥有加法并且满足一些

简单性质的集合叫做半群，通过对加法半群的求逆（即减法）完备化产生出所有整

数。通过加法又可以定义乘法除法，通过对除法的完备化产生整个有理数域，而对

有理数进行戴德金分割或者对有理数收敛数列进行分类我们又得到了整个实数。有

了加法（减法）和乘法我们可以定义多项式，然后为了对求根运算封闭，我们还得

把数域扩张到全体复数。其中最典型的一个元素 i 的定义就是一个满足 i^2=-1的

“东西”。

    这一段看似非常不自然而又冗长的推理告诉我们的是一个这样的事实，即对于

一个数学家来说，重要的不是他的研究对象的具体化，而是它们的性质，就连最基

本的研究对象：数本身，也只是某种性质的形象化说法而已。这种思维就是抽象思

维，通过不断深刻地从小模式中抽象出必要的性质，去除（或者综合）次要的性质

，用尽可能少的条件来推出尽可能多的结论。爱因斯坦曾经说过一句话，大意是科

学的发展就是不断地战胜二十岁以前人所有的“常识”。用在数学上，也十分贴切

。因为抽象常常就意味着对某种公认的常识的挑战。在每一次的抽象过程中哪怕对

于当时最优秀的数学家来说都是一种冒险的尝试，连象高斯这样的大家，在生前都

不愿意发表他关于非欧几何的开创性的文章。一旦某个抽象过程被确认下来，数学

也就随之更加完美。因而在这里，作为纯粹思维范畴的抽象性也是一种美学标准，

而这个标准，从某种程度上讲是所有在数学中起作用的美学法则中最重要的一个，

作为艺术的数学，也正是一种抽象的艺术。对了谈到抽象，我又想起了现代的抽象

画和实验性的文学创作。拿数学和它们对比十分有意思，画家进行色彩和形态的组

合，文学家把一个个的字写在一块，而我们则把一定的类型通过逻辑串起来。绘画

和文学最初是对客观现实的模拟，古典数学也是；然而通过长期的模拟过程，人们

发现了一种超越实在的“语言”，通过这种语言可以直接达到美。毕竟，艺术家们

创造的全部艺术都必须通过人的审美来体现，从这个意义上讲他们创造的真正内容

不是油画，诗歌，而是人的沉思，感动和激情。只有这样看，我们才能够理解非常

不相似的文学和绘画，音乐竟然可以拥有相似的性质，从而是统一的艺术的不同分

支。而巴罗克，洛可可，古典主义，浪漫主义，印象派，……在几乎每一个分支里

都有代表就一点都不奇怪了。

    形式是为内容服务的，而不是反过来，所以经过抽象后色彩和文字的“感性”

就远比它所附着的形式----绘画的主题和小说的情节更为重要。在数学上，这一步

走得更加极端----一旦某个性质被提出来，它的构造就完全可以被忘记。拿向量的

“长度”这个概念来说，它无疑具有实在的结构和意义。但是一旦我们意识到它满

足三到四个代数性质[5]，并且我们在很多用到“长度”的定理证明中也只要这些

性质时，它的“实在性”就完全被抛开，并推广到广泛得多的一大类空间中去，在

那里，一个“向量”往往是一个函数。王浩[6]说，数学是一种类“纯净美”（try

beauty），意思大概就是指它可以不附加任何不必要的（为现实服务的）修饰。

这一境界对于任何一门艺术都非常不容易达到，而数学在这方面令人骄傲地走在了

所有其它艺术形式的前面。

    作为一门最古老的科学，数学的分支之间的距离越来越大。同样是搞数学，搞

分析的常常完全看不懂代数方向的论文；同是搞分析，搞微分方程的和搞多复变的

也没有什么共同语言；同是搞微分方程，常微分方程和偏微分方程也天差地远；甚

至同属偏微分方程，椭圆型方程用的工具和抛物型又大不一样。数学这棵大树，分

支看来是越来越往互不相干的方向在发展了。然而这一看似危险的分裂主义倾向却

从来没有真正动摇数学作为一个思想体系的统一性。哈尔莫斯[7]是这样说的：“

数学如今生气勃勃，分支如此众多，各分支又如此广博，基本上无人能全部了解。

……但这不要紧，无论演讲是关于无界算子，交换群还是可平行曲面，相距很远的

数学各部分之间的相互影响常常会出现。一个部分的概念，方法常常会对所有其他

部分有启示。这一体系作为一个整体的统一性令人惊叹。”的确，在历史上曾经有

过几何和代数完全脱节的时期，两个分支各自“过度”发展，变得无聊，极端复杂

。比方说我们大家都不会对平面几何的怪题感到陌生，而对于古典代数当时情况也

好不了多少。设想一下，在中世团分薜某一个地方，一位运气� 好的皇帝� 他的

朝臣们在一起，听一位有学问的意大利人讲解一个三次方程的解法。可怜的人们

-----那位可爱的意大利人整整花了一个下午啊！如果没有魔法吸引住他们的注意

力，他们肯定要打哈欠的！[8]

    幸运的是，笛卡尔坐标系的建立开创了几何代数化的历程。而这种联合无疑为

人们认识什么是古典几何和代数的精华提供了一个标准，使得人们可以把那些人为

过度发展的分支抛开，集中精力研究那些更加深刻的问题。有了解析几何，才有了

微机分和现代数学分析。再往后到了十九世纪末，当数学又一次陷于过分分叉和复

杂化时，新的突破又出现了：人们发现定义“连续性”“极限”只要有开集就行了

！再后来人们更以此为基础发现了一种描述空间在连续变形下不变性质的群，从而

把现代代数和空间的几何性质联系起来。另外一个方面，“垂直”，“线性”和“

距离”的概念，完全可以脱离有限维的欧氏空间，搬到类似“全体连续函数”这样

的函数集合上去，并且在很大一类空间上可以建立坐标系，从而应用类似解析几何

的方法来成批地研究函数，泛函数和算子。这两个不同的抽象方向就导致了拓扑和

泛函分析的创立，体现了代数，几何和分析这三个高度分化的学科之间内在的统一

性。而这种奇妙的统一性，既体现了数学的生命力，更反映出了造物的和谐。“和

谐”是一个美学概念我想就不用我多讲了。这个概念恐怕是最神秘的一个，我们可

以把握哪怕是最艰深的抽象，我们可以给所有的对称性分们别类，我们更能够（几

乎是本能地）知道简化的重要性，然而没有一次统一的和谐不是“偶然”出现的，

我们只能凭着信仰来感受这种和谐。这种“科学的”信仰其实和无条件的宗教信仰

并没有本质的区别，在约翰福音中耶稣说，“我就是道路，真理，生命，若不籍着

我，没有人能到父那里去”。按照我们数学的惯例，这句话也可以理解为真理和生

命就是基督的一种比较抽象的说法。G.  Hardy就曾经说过，“我相信，数学实体

是在我们之外而存在的，我们的职能就是去发现它，观察它，我们证明的定理，我

们夸张地说成是我们的‘创造’的那些定理，不过是我们观察的记录而已。”
[9]
对于一个数学家，他一生都在创造方法和手段，但是没有一种手段本身可以保证他

明天能够发现什么，或者发现的都是“有价值”的。他最后的力量依然是存在真理

世界和通向真理的道路的强烈信心。

    我的俄国师兄曾经和我聊天，他那时正在为他的学生不会也不愿算积分题而烦

恼。不过他的抱怨是暂时的，因为他自己就认为将来这种技巧会随着计算器的发展

而变得越来越不重要。我们做四则运算肯定不如大部分中学生快，但那不要紧，我

们的任务不是算加减乘除，我们是要去发现和创新。甚至当有一天机器也拥有了发

现和创新的本领时（这一点我的师兄深信不疑），我们也不会饿死，因为我们还可

以作为艺术家而活下去。甚至于有些数学家象G. Hardy干脆就认为如果说数学有什

么存在的理由的话，那就只是作为艺术而存在[10]。当我们意识到数学中的艺术性

不仅仅是一种外带的附加的属性，而且是人类思考一个最根本的价值时，也许就会

象我一样认为，当爱因斯坦说他不相信上帝会掷色子时，他的信心与其说是某种客

观实践或者是逻辑推理，不如说是对他的上帝----自然真理之完美的深信不疑。

*********

说明：本文参照A·波莱尔的演讲《数学：艺术与科学》一文写出。所有该文的引

用不另行注出。

[1] 引自M·克莱因的《数学与文化----是与非的观念》一书，原文引自伯特兰·

罗素。

[2] 参看《An Introduction to the History of mathematics》，Howard Eves著

[3] 布尔巴基（Bourbaki）学派：一九三零年左右一批数学家（主要是法国人）试

图写一本包罗万有的数学全集，后来对整个当代数学的发展起到了非常大的影响。

[4] 参见附录《迦罗华小传》。

[5] 非负性，对称性，三角不等式和一个等式：|V|=0 ==> V=0。

[6] 王浩（H. Wang）美国华裔数学家。

[7] P.R. 哈尔莫斯（Halmos），美国数学家。后面的引文出自其有名的文章《应

用数学是坏数学》。

[8] 引自A.N. 怀特海（Whitehead），《数学与善》。

[9] G. Hardy, 《A Mathematician's Apology》。

[10]同上。


--
            你在的时候    生活中充满欣喜
                                           ——曾经有你
            你走了以后    留下孤单的回忆
                                           ——不停想你
            突然间发现    梦中也可以哭泣
                                           ——何必爱你

※ 来源:．听涛站 cces.net．[FROM: 匿名天使的家]

Life 版 (精华区)