Life 版 (精华区)

发信人: raining (萧条庭院), 信区: other
标  题: 数学的精神（网友创作）    7
发信站: 听涛站 (Fri Jan 19 12:59:40 2001), 转信

数学的精神----（三）

征服无限——数学的力量


    “所有的动物生而平等，但是有些比别的更平等[1]。”在数学里也一样存在
这个现象。如果只是要合乎逻辑的话几何可以有很多种，代数也一样。就算动用美
学的标准，也很难说我们的数学就比它的这些兄弟们更好一些。那为什么我们今天
见到的数学是这样的而不是那样的？我想，原因在于我们总是用现实世界的眼睛去
观察和发现数学。欧氏几何之所以有这样的公理而不是别的，是因为它最符合当时
人类对自然世界的观察。这样一来它就比别的几何在数学里具有更高的地位，拥有
更多的关注。

    伟大的苏格拉底曾经向普罗塔奇思(Protarchus)问道：“是不是有两种数学，
一种是平民百姓的，一种是哲学家的？.....（平民）在建筑和作买卖时运用的算
法和测量的技术与哲学家们的（欧氏）几何和极为精细的计算比较如何——我的意
思是，它们是一种还是两种？”

    普罗塔奇思：“.....我认为是两种”。[2]

    这段对话其实反映出数学自降生以来，就被分成从目标上来说截然不同的两部
分：纯粹数学和应用数学。我认为这种分类并不能严格地从内容上进行，比如说属
于应用数学的微分方程理论就有很多定理十分优美和抽象，当年被证明出来大概也
还是出于认识真理的动力；而以前非欧几何完全是在纯数学的小圈子里面流通的，
后来也在二十世纪成了描述现实宇宙的重要工具。最有意思的是这么一个故事，在
一九一零年左右，普林斯顿大学一位数学家和一位物理学家在讨论课程表的时候，
物理学家很有把握地声称，他们无疑可以去掉抽象代数，因为它绝不会对物理有用
的[3]。 结果是没出几十年，不懂群论就已经无法进行基础物理的研究了。在数学
的发展史上，“纯粹”往往在多年以后找到“应用”，而“应用”也常常成为理论
研究的动力，它们二者与其说成是两个不同的数学分支，不如说成是统一的数学的
两个侧面。就象在希腊神话中，雅典娜不仅有俏丽的面容，也有强大的力量。纯粹
思辩的数学在自然科学中是极有力的工具，以至于马克思曾经说过，一门科学只有
当它能够成功地运用数学的时候，才可以真正算作发展成熟了。[4]

    然而为什么数学是如此地有用？这本身却是一个难以回答的哲学问题。就象我
在前面两章里所阐述的，数学是为数很少的几个公设在逻辑推理下可以得到的所有
命题的总和。如果把“真理”理解为在现实世界里行得通的某种“法则”，那么正
好和常识相反，数学里不包含任何“真理”。在物理，化学，生物里我们经常可以
看到这样的论断：A具有性质B。验证它的方法是实验C。和这种毫不犹豫地求助于
实验的风格不同的是，在勾股定理的命题描述后面，你绝不会看见验证它的实验是
什么什么，取代这一步骤的是从欧几里得几何的几条公理出发，通过清晰的逻辑把
它证明出来。按照罗素等人的解释，“正三角形的直角边平方和等于斜边的平方”
这个给人以“客观真理”印象的命题是过于简化了，它应该被说成：“从欧氏几何
的公理和实数的策墨罗-富兰克尔公理体系出发，推出勾股定理的逻辑值为真”。
后一种说法其实就和客观实践无关了，如果我们把前提修改一下，后面那个符合实
践的结论很可能就不成立。比方说在非欧几何里，这条定理就行不通。这两个不同
的结论可以很好地共存，而且还不象经典力学和相对论那样是彼此近似的关系。原
因是单从逻辑的角度上讲，只要它们各自的前提不存在内部矛盾就是平等的。而前
提是不是正确？是不是我们这个自然世界的性质？数学家们狡猾地笑笑，说：这就
是物理学家，化学家，生物学家们的事情了。

    一个现实问题的数学解法之合理性是出自近似性。从应用的角度讲，我们从来
就不需要绝对的精确，恐怕永远也达不到它。根号二是个无理数？那不要紧，反正
我们连有理数长的尺子也造不出来。exp(x)=x没有“解析解”？这也不要紧，要紧
的是我们能够想出一个逼近的方法，有多精确的需要，就能够通过有限步运算达到
多么精确。

    回到几何和数学本身，它们是有限步逻辑的产物，哪怕最接近“现实”的数学
也已注定了是这个无限复杂的世界的某种近似。那么真实世界中任何问题都能够被
某种数学所渐进描述么？学过一些比较专业的数学就知道，这个问题等价于“全体
数学空间”在“全体现实问题空间”里稠密，而这一般来说并不是显然的。好在我
们的科学发展暂时还没有碰到这些问题，多么复杂的物理问题最后总是找到相应的
数学工具，而且在很多时候这件事情还富有戏剧性：物理学家们有时发现，他们需
要的工具，很早以前一小群纯粹数学家们就已经准备好了。这种应用在数学界的影
响也是巨大的，因为它把某种“没有用”的纯粹数学隐含的应用性揭示出来，从而
强烈地暗示，任何抽象的数学研究终归会被派上用场，成为应用数学。这也是非欧
几何创始人之一的罗巴切夫斯基的信心，而且我们还知道，爱因斯坦没有让他失望
。“所有数学都是有用的”这个命题大致是前面“所有现实问题都有数学模型”的
逆命题。很可惜，就和前面那个命题一样，这也是难以证明的。困难来自于无限，
希望却也来自无限。数学的发展与人类对无限的挑战和超越密不可分。

    在上一章里，我已经提到所有的数学都是研究涉及无限的模式，哪怕最简单的
自然数也不例外。现在我们更进一步，看看我们是怎么解决由数本身所构成的无限
命题。第一步我想我们应该看看最为简单的无限：自然数所产生的无限（这种无限
有个学名，叫做“可数无穷大”）。在近代数学定义中，这个无限可以通过“给定
一个自然数n，总存在n+1比它大”这一事实来描述。这些语言本身仅仅涉及有限，
因而是我们可以把握的。由此我们还得到数学归纳法，它可以处理含有这种无穷大
的命题，比方说“1+2+……+n=n*(n+1)/2”。步骤是先证明最开始的一个情况是对
的，然后证明第n+1个情况的正确性可以由第n个情况所推出。这就象是在搭梯子，
只要第一下踏中了，而且保证一脚踏实后就可以踏第二脚，那么哪怕这梯子有无限
多级，我们也满可以登上去。

    然而这并不是一个让人放心的逻辑。事实上它违反了一个“常识”：如果真有
无限级的梯子，就算一个人结结实实地踩中了第一脚，并且保证下一脚永不踏空，
他也没有办法爬完全部梯子。不过好在我们谁也没有真正见到过无限级的梯子，真
正的无穷是不为人所见的。世界是那样的复杂，我们把它叫做无穷；而人却是渺小
的，我们只能感知到有限。无限如果不和有限结合起来，就是对我们毫无用处的无
限。这条想象中的“无限梯”是那样真实，以至于我们已经忘了它其实来自于“非
常长”然而仍然是有限的梯子的经验。我们不必为那条无限梯永远爬不到顶而烦恼
，我们的胜利来自于每一级被征服的有限，和不断延续的过程。过程！是的，无限
不是静止的体验，无限来自不停息的过程。每一个被征服的具体的n+1都是有限，
归纳的过程却意味着我们征服了第一个无限。 




--
            你在的时候    生活中充满欣喜
                                           ——曾经有你
            你走了以后    留下孤单的回忆 
                                           ——不停想你 
            突然间发现    梦中也可以哭泣  
                                           ——何必爱你

※ 来源:．听涛站 cces.net．[FROM: 匿名天使的家]