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发信人: raining (萧条庭院), 信区: other
标  题: 数学的精神（网友创作）    8
发信站: 听涛站 (Fri Jan 19 13:00:36 2001), 转信



    谈到过程，就要谈谈时间了。和自然数不同，时间是连续的。换句话说，在万
分之一毫秒中我们还可以插入许多亿分之一毫秒，而且这一分割还可以继续下去，
要多细有多细。在现实生活中，人对“微小”的认识水平是有限制的。所以无限可
分并不是直接的经验，而是和可数无穷大一样，是有限经验的一种抽象。这种无限
可分的性质不光时间有，空间也是有的，它们合在一起构成了我们这个宇宙的框架
。最早对这一框架的数学描述是欧氏几何，通过笛卡尔等人的努力，实数和这一几
何通过坐标系建立了不可分割的关系。

    几何的出发点是抽象的“点”，“直线”等概念，这些概念，在现实生活中是
不存在的。确实，有谁能够见到一个没有任何大小的“点”呢？又有哪一条“直线
”不是弯曲的呢？然而今天对于任何一个受过教育的人来讲，这些奇怪的人造动物
都是再自然不过的了。我们把力学问题抽象为几何，通过数学来推导，运算，得到
一个数字或者图形，然后再把它的力学意义解释出来。而这个结论总是对的，这可
以从无数实验中看出来。可是这种正确，却是基于在现实生活中谁也没有见到过的
“点”和“线”的 看 逻辑推理。

    解释它的办法仍然是用过程的概念：比方说一个“点”或者说一个实数不是个
固定的概念——无限小的“存在”，而是一个可以不断逼近（缩小）的过程。一颗
质量为3.75公斤的石子在113.14牛顿的推进力下沿直线运行了3.03秒，那么它的轨
迹就有138.50米。这里的任何一个数字都不是对现实实验的真实描述，而是近似。
随着对3.75公斤，113.14牛顿，3.03秒近似水平的提高，轨迹也会越来越接近
138.50米。这个“越来越接近”又是一个涉及无限的过程了，它被有限的逻辑以
F=ma, S=a*t^2/2的形式表达出来。其中第一个式子来源于物理经验，第二个式子
则是微积分的一个结果。

    微积分和它所生成的分析学是近代数学最值得铭记的里程碑，它在数学中的重
要性怎么估计都不会过高。可是它竟然在相当长的一段时间里不是严格意义上的数
学——因为它的基础要到很晚以后才被建立在坚实的逻辑之上。天文学家开普勒尝
试着做最早的积分，被叫做“dolichometry”——小桶的量度——即量度由曲面包
围起来的物体的容积。这是非公理化的，经验的几何学，而不是欧几里得以后的那
种几何学[5]。牛顿发明的“流数”运算，不仅是为了研究物理提供工具，连陈述
都是物理化的，而这种不精确性，来源就是把无穷小量当作静止的恒量。在牛顿时
代的微积分运算中，我们经常可以看到用这个无穷小量做分母（这意味着它不等于
零），而在随后的乘法中和它相乘的量又都被消去（这时它就是零了），从而得到
结果。这个矛盾当时无法解决，而且它并不是象虚数那样完全是形式上的问题，那
种推导方法还有可能会得出象0=1这种荒谬的结论。以前曾经是如此严格地合乎道
德的数学也犯了原罪；它吃了智慧果，这为它开辟了获得最大成就但也造成谬误的
道路[6]。

    现在我们高等数学/数学分析教科书上已经找不到这个象幽灵一样的无穷小量
了，取而代之的是柯西和魏尔斯特拉斯所发现的极限思想和用来描述它的ε-δ法
则。无穷小量现在被看成某个函数的极限过程，精确的描述如下：对于任意ε>0.
 存在δ>0, 当|x-x_0|<δ时 |f(x)-f(x_0)|<ε，记为当x→x_0时，f(x)→
f(x_0)。

    这里ε和δ都代表了有限，“任意”和“存在”是集合论或者说是逻辑运算的
语言，通过它们把代表无限的无穷小量刻画出来。看似笨拙的描述中透露的还是那
个思想：如果不能够从有限出发刻画无限，那样的无限就毫无意义；如果一种计算
不能写成标准的逻辑语言，它就不能被称为真正的数学。数学的力量表现在丰富多
彩的应用上，但更是出自它无比的严密。在历史上应用很多次走在了严密的前面，
就象微积分那样，但最终数学总可以为它们建立严格的逻辑，尽管有时不得不付出
直观性和有效性的代价。后者一个典型的例子就是概率论。古典概率的直观体系很
早就有了雏形，而且被实践证明是管用的。然而要到本世纪柯尔莫哥洛夫（
Kolmogorov）突破性的工作后它才谈得上有一个严格的数学基础。这套体系是建立
在测度论上的，而在现有的体系下一定有很多事件是无法定义概率的（不可测），
所以概率的定义域就从来自经验的“全部可能的事件”缩减为一个纯粹为满足数学
严格性而建筑的δ-algebra之上。这种不自然多多少少削弱了概率论的力量（尽管
几乎所有我们见过的集合都是可测的），因此直到现在还有人反对它，试图建立一
套更加完美的理论。

    不管新的体系会是什么样子，有一点是肯定的：它一定是保证了逻辑严密性后
的推广，只有这样，我们才有充分的信心去运用它。可是逻辑又为什么会适用于我
们这个世界？这是还未得到解决的哲学问题。抽象的逻辑其实一样来自于重复足够
多次的经验，我们的经验则是视觉，听觉，触觉，嗅觉——通过机器可以把它们延
伸，通过思考可以间接地感受它们，然而归根到底它们还是基于这些感觉。也许
1+1=2不是感觉，可是它也是从一大类我们感知得到的具体事物中抽象出来的规律
。这个规律，就我们过去的经验所知是正确的。之所以我们要去（通过研究过去的
经验）追求规律，是为了把握我们难以把握的未来，如果历史对未来毫无影响，如
果宇宙随时间的变化完全不可知，我们还有研究科学的必要吗？我们的信心只能建
立在宇宙的规律性上，这种规律性也许永远不能够为人类所完全认识，但总是在某
个地方“存在”着，全部自然科学包括数学不是创造它，而是发现它。然而即使全
部的过去都支持某一种规律，这种规律就一定会在将来永远地成立下去吗？太阳明
天还会升起，这可以通过物理定律来证明，可是物理定律恰恰是从象太阳无数次有
规律的升起这样的大量经验中得出的，这就象是自己证明自己，并没有产生新的信
息。

    到这里我打算停下来，把问题交给搞自然科学的同仁们。归跟到底，那些建立
模型解释模型的任务不在数学家身上。我们所从事的工作就象是下围棋，给定了规
则（逻辑）后就演绎出许多推论，在数学上的“正确”意味着合乎这种规则，和现
实生活中的“正确”具有不同（然而非常相关）的哲学意义。由此可见，数学不是
具体科学，更不是“客观真理”的总汇。


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[1] 《动物庄院》，George Orwell

[2] 《Applied Mathematics Is Bad Mathematics》，P. Halmos

[3] 《Mathematics in the Physical Science》，F. J. Dyson

[4] 《马克思回忆录》，拉法格著，转引自《数学与人类文化》，孙小礼著

[5] 《论数学》，冯·诺伊曼

[6] 《反杜林论》，恩格斯

  
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            你在的时候    生活中充满欣喜
                                           ——曾经有你
            你走了以后    留下孤单的回忆 
                                           ——不停想你 
            突然间发现    梦中也可以哭泣  
                                           ——何必爱你

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